数学试卷（文科）参考答案

第I卷（选择题  共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

A

C

D

D

A

A

B

C

C

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

11、设集合，，，则

12、已知，则

13、原点和点在直线的两侧，则的取值范围是

14、已知点P在定圆O的圆内，动圆C过点P且与圆O相切，则圆C的圆心轨迹可能是：     

（2）、（3）

三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15、已知：为常数）

   （Ⅰ）若，求的最小正周期；

   （Ⅱ）若的最大值与最小值之和为3，求的值；

解：（Ⅰ）  ------6分

最小正周期     ----------------------------------------------- 8分

   （Ⅱ） 

即--------------------14分

16、已知四棱锥的底面是梯形, 且AB∥CD,

∠DAB＝90°, DC＝2AD＝2AB, 侧面PAD为正三角形,

且与底面垂直, 点M为侧棱PC中点.

(Ⅰ) 求直线PB与平面PAD所成角的大小;

(Ⅱ) 求证: BM∥平面PAD;

解:(Ⅰ) ∵面PAD⊥面ABC, 交线为AD, 且

AB⊥AD, ∴AB⊥面PAD, 直线PB在

面PAD上的射影为PA, ∴∠BPA为PB与

面PAD的所成角.

又AB⊥PA, 且PA＝AB,

∴∠BPA＝45°, ∴直线PB与平面PAD

所成角的大小为45°. ---------------6分

(Ⅱ)过M作MN∥CD交PD于N, 连AN.

∵M为PC中点, 则MN＝CD,

又AB∥CD, DC＝2AB, ∴MN∥AB且

MN＝AB, ∴ABMN为平行四边形.

∴BM∥AN, MB平面APD, ∴BM∥平面PAD. ------------------------14分

17、设命题p：,

命题q：关于的方程一根大于1，另一根小于1.

如果命题p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围.

解：∴命题p: -------------------------4分

令, 命题q, ∴命题q:-----------------------8分

∵命题p且q为假命题，p或q为真命题，就是p和q中有且仅有一个真命题.

所以实数a的取值范围是或              ---------------------14分

18、我国自造的一艘邮轮自上海驶往法国的马赛港，沿途有40个港口（包括起点上海和终点马赛港），游轮上有一间邮政仓，每停靠一港口便要卸下前面各港口发往该港的邮袋各一个，同时又要装上该港发往后面各港的邮袋各一个，试求：

（Ⅰ）游轮从第k个港口出发时，邮政仓内共有邮袋数是多少个？

（Ⅱ）第几个港口的邮袋数最多？最多是多少？

解：设游轮从各港口出发时邮政仓内的邮袋数构成一个数列

    （Ⅰ）由题意得：

   在第k个港口出发时，前面放上的邮袋共：个　

   而从第二个港口起，每个港口放下的邮袋共：1+2+3+…+（k－1）个　　　　　　　

  故

即游轮从第k个港口出发时，邮政仓内共有邮袋数个　?8分

（Ⅱ）       

所以，第20个港口的邮袋数最多，最多是400个；                  -------14分

19、设抛物线：的焦点为F，直线过点F交抛物线于A、B两点,点M在抛物线的准线上，O为坐标原点，设

(Ⅰ)求证：

(Ⅱ)求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列。

解：Ⅰ）设MA、MF、MB的斜率分别为，

直线的方程为：

---------------------6分

Ⅱ）

，所以直线MA、MF、MB的斜率成等差数列。------------14分

20、设函数， a为常数.

（Ⅰ）、若是偶函数，求的值。

（Ⅱ）是否存在实数a，使得在和上单调递增？

若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.

解：Ⅰ）是偶函数,当且仅当对任意

成立..两边平方即得,因为上式对

任意成立,所以当且仅当.所以若是偶函数， .--------6分

（Ⅱ）设的两根是、， .

则.

若,则在上不具有单调递增,因而在上也不会单调递增.

下面仅考虑的情况.

由,知,由在上单调递增,

知在上也单调递增.

在和上单调递增,又,所以在上单调递增. 在上单调递增当且仅当.

存在实数a，使得在和上单调递增.其取值范围是--------14分