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第五单元  三角函数的证明与求值

一.选择题

(1) 若为第三象限，则的值为                        （    ）

     A．3                      B．－3                        C．1                            D．－1

(2) 以下各式中能成立的是                                                                                 （    ）

       A．                           B．且

C．且                     D．且

(3) sin7°cos37°－sin83°cos53°值                                                               （    ）

A． B．    C．  D．－

(4)若函数f(x)=sinx, x∈[0, ], 则函数f(x)的最大值是                         (     )

A           B              C          D

(5) 条件甲，条件乙，那么                        （    ）

    A．甲是乙的充分不必要条件                      B．甲是乙的充要条件

C．甲是乙的必要不充分条件                          D．甲是乙的既不充分也不必要条件

(6)、为锐角a=sin()，b=，则a、b之间关系为      （    ）

A．a＞b     B．b＞a C．a=b        D．不确定

(7)(1+tan25°)(1+tan20°)的值是                                                                               (     )

A -2                B  2                C  1            D -1

(8) 为第二象限的角，则必有                                                                             （    ）

    A．＞                                      B．＜

C．＞                                          D．＜

(9)在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC等于                                     （    ）

    A．       B．                                C．或        D．

(10) 若a>b>1, P=, Q=(lga+lgb)，R=lg , 则                       （    ）

  A．R<P<Q　　  B．P<Q<R  　　C．Q<P<R  　　　D　P<R<Q

二.填空题

(11)若tan=2，则2sin²－3sincos=            。

(12)若－，∈（0，π），则tan=                  。

(13)，则范围                    。

(14)下列命题正确的有_________。

①若－＜＜＜，则范围为（－π，π）；

②若在第一象限，则在一、三象限；

③若=，，则m∈（3，9）；

④=，=，则在一象限。

三.解答题

(15) 已知sin(＋)=－，cos()=，且＜＜＜，求sin2.

(16) （已知

求的值.

(17) 在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.

(18)设关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.

(Ⅰ)求α的取值范围;  (Ⅱ)求tan(α+β)的值.

一选择题:

1.B  

[解析]：∵为第三象限，∴

则

2.C 

        [解析]： 若且则

3.A  

[解析]：sin7°cos37°－sin83°cos53°= sin7°cos37°－cos7°sin37°

=sin(7°- 37°)

4.D  

[解析]：函数f(x)=sinx, ∵x∈[0, ],∴x∈[0, ],∴sinx

5.D  

[解析]：, 故选D

6.B  

[解析]：∵、为锐角∴

又sin()=<

∴

7.B 

[解析]：(1+tan25°)(1+tan20°)=1+

8.A  

[解析]：∵为第二象限的角

               ∴角的终边在如图区域内

        ∴＞

9.A

[解析]：∵ cosB=，∴B是钝角，∴C就是锐角，即cosC>0，故选A

10.B    

[解析]：∵a>b>1,  ∴lga>0,lgb>0,且

∴< 故选B

二填空题:

11．     

[解析]：2sin²－3sincos=

12．或      

[解析]： ∵－>1，且∈（0，π）∴∈（，π）

                  ∴ (－   ∴2sincos=

         ∴+

                   ∴sin=  cos=或sin=  cos=

           tan=或

13．     

[解析]：  ∵=

               ∴=

                  ∴

              又=

               ∴=

                  ∴

             故

14．②④

[解析]：∵若－＜＜＜，则范围为（－π，0）∴①错

∵若=，，则m∈（3，9）

又由得m=0或 m=8

∴m=8

故③错

三解答题:

(15) 解:  ∵＜＜＜  ∴

∵sin(＋)=－，cos()=   ∴cos(＋)=  sin()=

∴=.

(16)   解: 由=

=

得  又,所以.

于是

            ===

(17)解：∵sinA+cosA=cos(A－45°)=，  

∴cos(A－45°)= .

又0°<A<180°, ∴A－45°=60°，A=105°.

∴tgA=tg(45°+60°)==－2－.

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.

∴S_ABC=AC?AbsinA=?2?3?=(+).

 (18)解: (Ⅰ)∵sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+),  

∴方程化为sin(x+)=-.

∵方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,

∴sin(x+)≠sin= .

又sin(x+)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), 

∴|-|<1 . 且-≠. 即|a|<2 且a≠-. 

∴  a的取值范围是(-2, -)∪(-, 2).       

 (Ⅱ) ∵α、 β是方程的相异解,

 ∴sinα+cosα+a=0   ①.   

sinβ+cosβ+a=0      ②.

①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)=0.

∴ 2sincos-2sinsin=0, 又sin≠0,

∴tan=.

∴tan(α+β)==.

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