鄞州高级中学 高二（数学）期中试卷（理）
命题人： 叶琪飞 审题人： 王蓉
一：选择题。（本大题共10小题，每小题5分,共50分，每小题都只有一个正确答案）
1若，
则 （ ）
A、 B、9 C、 D、
2：不等式的
解集是 （ ）A、 B、 C、 D、
3： 已知则的大小关系是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4：函数的最大值为 （ ）
A、6 B、5 C、3 D、 4
5：若不等式恒成立，则的取值范围为 （ ）
A、 B、 C、 D、
6：下列结论中正确的是 （ ）
⑴若则; ⑵若则则;
⑶ ⑷若为的三边，则（其中且）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、 3个
7：不等式组的解集是 （ ）
A、 B、 C、 D、
8：设且若则必有 （ ）
A、 B、 C、 D、
9：若且则的最小值是 （ ）
A、 4 B、3 C、2 D、 5
10：关于实数的不等式与的解集分别为与，若使求实数的取值范围 （ ）
A、 B、 C、 D、
二：填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11：为虚数单位， ▲ 。
12：关于的不等式的解集为 ▲ 。
13：函数的最小值为 ▲ 。
14：设则 ▲ 。
15：设不等式对满足的实数都成立，则的取值范围是 ▲ 。
16：若函数点在曲线上运动，作轴，垂足为则（O为坐标原点）的周长的最小值为 ▲ 。
17：三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路。
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”。
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确的结论，即的取值范围是 ▲ 。
二、 填空题（每小题4分，共28分）
11、。 12、。 13、。 14、。
15、。 16、。 17、。
三、解答题（6个小题，共72分）
18、（本题共10分）求解关于的不等式
解：（1）当时，原不等式等价于即
（2）当时，原不等式等价于即
（3）当时，原不等式等价于即
综上所述，原不等式的解集为
19、（本题共10分）已知实数满足设
（1）求的最小值；
（2）当时，求的取值范围。
解：（1）由柯西西不等式得
所以当且仅当且即时取等号，
因此的最小值为
（2）由题意得：所以
所以解得：
20、（本题共10分）经过长期观察知：在交通繁忙的时段内，某公路段的汽车流量(千辆/时)与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为问在这时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？并求最大的车流量（精确到0.1千辆/时）
解：由于，，
当且仅当即时，等号成立。
所以车流量车流量的最大值为 (千辆/时)
21、（本题共14分）函数过曲线上的点的切线方程为
（1）若在时有极值，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，求在上的最大值；
（3）若函数在区间上单调递增，求取值范围。
解：（1）由得据题意得：
即解得；
（2）由（1）得当变换时，与的变换情况如下表：
x
+
0
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以在上的最大值的极大值为13.
（3）在区间上单调递增，又由（1）知，依题意在上恒有即在恒成立。
当时，
当时，
当时，
综合上述讨论可知，所求参数的取值范围是
22、（本题共12分）求证：
解法一：，
=
解法二：用数学归纳法进行证明（略）
23、（本题共16分） 对于函数，若存在，则称为的不动点，
已知函数
（1）当时，求函数的不动点；
（2）对于任意实数函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围。
（3）在（2）的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点， 且
两点关于直线对称，求的最小值。
解：（1）由得两个不动点；
（2）恒有两个相异的不动点，等价于关于的方程
即有两个相异的实根。
恒成立。解得
（3）设两点的横坐标分别为，则中点横坐标为从而纵坐标为又中点在直线上，所以得当且仅当
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