2009年高考实战模拟数学（文）试题

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

B

A

C

A

C

D

B

D

B

C

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13. ；    14. 3；    15. ；   16.

三、解答题（共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解：（Ⅰ）解法一：∵、、

∴，.

由得：，

即.  ∵   ∴.               …………………5分

解法二：∵   ∴点在线段的中垂线上，即在直线上，故

∵   ∴.                                …………………5分

（Ⅱ）由得：.

即                                      …………………6分

∵，  ∴       …………8分

∴  即

∴    ………………10分

18. 解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B

（Ⅰ）6种添加剂中任取两种芳香度之和等于4的取法有2种：、，

故。                                  ………………………6分

（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。                                   ………………………12分

19. 解法一：

（Ⅰ）依题意，在平面内                    ………………………2分

在正方体中,

∴   同理

∴平面

∴                            ………………………………………6分

（Ⅱ）连接，过做平面，垂足为，∵∥   ∴在上；过作于，连接PF，则为二面角的一个平面角。   ………………8分

在中，，因为，

所以。

∴为的中点    ∴为的中点。

即为的中点时，二面角的正切值为。 ……………………12分

解法二：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示。所以

（）

（Ⅰ）

∴       …………………………………6分

（Ⅱ）由题意可得，为平面

的一个法向量，设为平面的一个法向量，

则             …………………7分

即，令z=1，解得：        …………………8分

所以    ……10分

∴

解得 或（舍去）

∴为的中点时，二面角的正切值为。   …………………12分

20. 解：(Ⅰ)根据题设条件，.设点则、满足

    ∴可解得，        …………………3分

∴

    由得于是 .

∴所求双曲线方程为.                            …………………6分

（Ⅱ）设是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是和. 则点到两条渐近线的距离分别为：

       ，                          …………………8分

∴.

故点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.            …………………12分

21. 解（Ⅰ）由题意知

当=1时，

当

两式相减得（）

整理得：（）         ……………………………………………4分

∴数列是为首项，2为公比的等比数列.

              ……………………………………5分

（Ⅱ）

∴                             ……………………………………6分

∴

       ①

         ②

①－②得            ………………9分

                               …………………………11分

∴                                      …………………………12分

22. 解：（Ⅰ）

，   而

∴

 ∵有三个根   ∴

∴

由得，即

∴                                     ……………………………4分

（Ⅱ）

     ∴

∴           …………………………8分

（Ⅲ）

∴ 

∴

又∵  ∴ 

当且仅当时，取最小值，此时

           …………………………………………12分

注：以上解答仅供参考，另有解法，酌情给分。