辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈6：

几何题

    高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,  这点值得考生在复课时强化.

    例1  已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t  (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线的方程；

   （2）计算出点P、Q的坐标；

   （3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.                  

   讲解:  通过读图,  看出点的坐标.

(1 ) 显然,  于是 直线

的方程为；

   （2）由方程组

解出  、；               

   （3）,

        .

   由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

    需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2  已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

   讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程,

   由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为

代入椭圆方程 得

化简后，得关于的一元二次方程

于是其判别式

由已知，得△=0．即  ①

在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得

 令顶点P的坐标为（x，y），  由已知，得

 代入①式并整理，得 ,  即为所求顶点P的轨迹方程．

    方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

   例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

 （1）求双曲线的方程；

 （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

  讲解：∵（1）原点到直线AB：的距离.

     故所求双曲线方程为

（2）把中消去y，整理得 .

     设的中点是，则

即

故所求k=±.

为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.

   例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F₁PF₂的最大值为90°，直线l过左焦点F₁与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的面积最大值为12．

  （1）求椭圆C的离心率；

  （2）求椭圆C的方程．

   讲解：（1）设, 对 由余弦定理, 得

  ，

解出  

 （2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：

   i) 当k存在时，设l的方程为………………①

  椭圆方程为

 由   得   .

于是椭圆方程可转化为  ………………②

将①代入②，消去得     ,

整理为的一元二次方程，得       .

则x₁、x₂是上述方程的两根．且

，