高三数学中档题专项训练（2）

1、【江苏?泰州】已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b． （1）求tanα的值；（2）求cos()的值．

2、【江苏?南通】（本小题14分）

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．

（1）求证：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（2）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，

A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

3、(本题满分16分)有如下结论：“圆上一点处

的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆

处的切线方程为”，过椭圆C：

的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.

（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积

4、【江苏?淮、徐、宿、连】(本题满分16分)

已知函数f(x)=alnx+x²(a为实常数).(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数；

(2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

1、【解】（1）∵a⊥b，∴a?b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

故a?b＝6sin²α＋5sinαcosα－4cos²α＝0．……………………………………2分

由于cosα≠0，∴6tan²α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．……6分

∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分

（2）∵α∈（），∴．

由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．

∴，………………………………………12分

cos()＝

              ＝ ＝． ………………………14分

2、解: （1）在正三棱柱中，C C₁⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥C C₁．………………………2分

又AD⊥C₁D，C C₁交C₁D于C₁，且C C₁和C₁D都在面BC C₁ B₁内，

              ∴ AD⊥面BC C₁ B₁．   ……………………………………………5分

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…………7分

当，即E为B₁C₁的中点时，A₁E∥平面ADC₁．…………………8分

事实上，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形BC C₁ B₁是矩形，且D、E分别是BC、B₁C₁的中点，所以B₁B∥DE，B₁B= DE． ……………………10分

又B₁B∥AA₁，且B₁B=AA₁，

∴DE∥AA₁，且DE=AA₁．  …………………………………………12分

所以四边形ADE A₁为平行四边形，所以E A₁∥AD．

而E A₁面AD C₁内，故A₁E∥平面AD C₁． …………………………14分

3、【解】（1）设M

∵点M在MA上∴  ①……………………3分

同理可得②…………………………5分

由①②知AB的方程为…………6分

易知右焦点F（）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）……8分

（2）把AB的方程

∴……………………12分

又M到AB的距离

∴△ABM的面积……………………15分

4、【解】（1）当时，，当，，

故函数在上是增函数．………………………………………………4分

（2），当，．

若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　……………………………………6分

若，当时，；当时，，此时

是减函数； 当时，，此时是增函数．故

．

若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．…………………………………8分

综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，

的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，

相应的x值为．…………………………………………………………………10分

（3）不等式，  可化为．

∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，

因而（）…………………………………………………………12分

令（），又，………………14分

当时，，，

从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，

故的最小值为，所以a的取值范围是． ……………………16分