2009年高考数学一轮复习资料（共十三讲，103页）

29、题目 高中数学复习专题讲座排列、组合的应用问题

高考要求

排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力 

重难点归纳

1  排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题  解决这类问题通常有三种途径  (1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素  (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置  (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数  前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 

2  在求解排列与组合应用问题时，应注意  

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；

(4)列出式子计算和作答 

3  解排列与组合应用题常用的方法有  直接计算法与间接(剔除)计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种 

4  经常运用的数学思想是 

①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想 

典型题例示范讲解

 例1在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有(    )

命题意图  考查组合的概念及加法原理 

知识依托  法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合 

错解分析  A中含有构不成三角形的组合，如  CC中，包括O、B_i、B_j;CC中，包含O、A_p、A_q，其中A_p、A_q,B_i、B_j分别表示OA、OB边上不同于O的点；B漏掉△A_iOB_j；D有重复的三角形  如CC中有△A_iOB_j,CC中也有△A_iOB_j 

技巧与方法  分类讨论思想及间接法 

解法一  第一类办法  从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有CC个；第二类办法  从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个；第三类办法  从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个  由加法原理共有N=CC+CC+CC个三角形 

解法二  从m+n+1中任取三点共有C个，其中三点均在射线OA(包括O点)，有C个，三点均在射线OB(包括O点)，有C个  所以，个数为N=C－C－C个 

答案  C

例2四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________ 

命题意图  本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力 

知识依托  排列、组合、乘法原理的概念 

错解分析  根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A种  忽略此种办法是  将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的 

技巧与方法  解法一，采用处理分堆问题的方法  解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的 

解法一  分两步  先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A³₃种  依乘法原理，共有N=C =36(种) 

解法二  分两步  从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种  值得注意的是  同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的  因此，共有N=A?3=36(种) 

答案  36

例3有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

解法一(间接法)  任取三张卡片可以组成不同三位数C?2³?A(个)，其中0在百位的有C?2²?A (个)，这是不合题意的，故共有不同三位数  C?2³?A－C?2²?A=432(个） 

解法二 (直接法)   第一类  0与1卡片放首位，可以组成不同三位数有 (个); 第二类  0与1卡片不放首位，可以组成不同三位数有 (个) 

故共有不同三位数  48+384＝432(个） 

学生巩固练习

1  从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示) 

2  圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________ 

3  某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

4  二次函数y=ax²+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？

5有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数

(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置 

(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边 

(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起 

(4)全体排成一行，男、女各不相邻 

(5)全体排成一行，男生不能排在一起 

(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变 

(7)排成前后二排，前排3人，后排4人 

(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人 

6   20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数 

7  用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂不同色，则涂色的方法共有几种？

解析  因为直线过原点，所以C=0，从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个作为A、B两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A=30 

答案  30

2  解析  2n个等分点可作出n条直径，从中任选一条直径共有C种方法；再从以下的(2n－2)个等分点中任选一个点，共有C种方法，根据乘法原理  直角三角形的个数为  C?C=2n(n－1)个 

答案  2n(n－1)

3  解  出牌的方法可分为以下几类 

(1)5张牌全部分开出，有A种方法；

(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；

(3)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；

(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；

(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；

(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法 

因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860种 

4  解  由图形特征分析，a＞0,开口向上，坐标原点在内部f(0)=c＜0;a＜0,开口向下，原点在内部f(0)=c＞0,所以对于抛物线y=ax²+bx+c来讲，原点在其内部af(0)=ac＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b,故满足题设的抛物线共有CCAA=144条 

5  解  (1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择  有A种，其余6人全排列，有A种  由乘法原理得AA=2160种 

(2)位置分析法  先排最右边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种  则符合条件的排法共有AA－AA=3720种 

(3)捆绑法  将男生看成一个整体，进行全排列  再与其他元素进行全排列  共有AA=720种 

(4)插空法  先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA=144种 

(5)插空法  先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440种 

(6)定序排列  第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A=N×A，∴N== 840种  ?

(7)与无任何限制的排列相同，有A=5040种 

(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA  最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可  共有A×A×A=720种 

6  解  首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空档，其中“O”表示小球，“|”表示空档  将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数  对应关系是  以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数  最左侧的空档可以同时插入两个小盒  而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左侧空档，有C种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有种；若没有小盒插入最左侧空档，有C种  由加法原理，有N==120种排列方案，即有120种放法 

7  解  按排列中相邻问题处理  (1)(4)或(2)(4)  可以涂相同的颜色  分类  若(1)(4)同色，有A种，若(2)(4)同色，有A种，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A种  由加法原理，共有N=2A+A=240种 

8  解  每人随意值两天，共有CCC个；甲必值周一，有CCC个；乙必值周六，有CCC个；甲必值周一且乙必值周六，有CCC个  所以每人值两天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数，有N=CCC－2CCC+ CCC=90－2×5×6+12=42个 

课前后备注 　

30、题目 高中数学复习专题讲座概率与统计

高考要求

概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容  要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 

重难点归纳

本章内容分为概率初步和随机变量两部分  第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验  第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 

涉及的思维方法  观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化 

主要思维形式有  逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 

典型题例示范讲解

例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 

［10，15］4  ［30，359  ［15，205  ［35，408 

［20，2510  ［40，453  ［25，3011

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；

(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 

命题意图  本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 

知识依托  频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 

错解分析  解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 

技巧与方法  本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 

解  (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 

数据段

频数

频率

累积频率

［10,15

4

0.08

0.08

［15,20

5

0.10

0.18

［20,25

10

0.20

0.38

［25,30

11

0.22

0.60

［30,35

9

0.18

0.78

［35,40

8

0.16

0.94

［40,45

3

0.06

1

总计

50

1

(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下 

例2袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

  (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．

(i)求恰好摸5次停止的概率；

(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．

   (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

命题意图  本题考查利用概率知识和期望的计算方法 

知识依托  概率的计算及期望的概念的有关知识 

错解分析  在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误 

技巧与方法  可借助n次独立重复试验概率公式计算概率 

解  (Ⅰ)（i）

(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，；

由n次独立重复试验概率公式，得

；

（或）

随机变量的分布列是

0

1

2

3

P

的数学期望是 

(Ⅱ)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球

由，得 

例3如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N₁、N₂，当元件A、B、C都正常工作时，系统N₁正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作  已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N₁，N₂正常工作的概率P₁、P₂

解  记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，

由已知条件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90 

(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N₁正常工作的概率P₁=P(A?B?C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N₁正常工作的概率为0.648 

(2)系统N₂正常工作的概率P₂=P(A)?［1－P()］

=P(A)?［1－P()P()］

=0  80×［1－(1－0  90)(1－0  90)］=0  792

故系统N₂正常工作的概率为0  792 

学生巩固练习

1  甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是  现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为(    )

2  已知随机变量ζ的分布列为  P(ζ=k)=,k=1,2,3,则P(3ζ+5)等于

A  6                B  9             C  3             D  4

3   1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望Eζ=_________ 

4  某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________ 

5  甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算 

(1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有一人击中目标的概率；

(3)至少有一人击中目标的概率 

6  已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f(x)=

(1)求常数a的值，并画出ζ的概率密度曲线；

(2)求P(1＜ζ＜) 

7  设P在［0,5］上随机地取值，求方程x²+px+=0有实根的概率 

8  设一部机器在一天内发生故障的概率为0  2，机器发生故障时全天停止工作  若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？

参考答案:

1  解析  设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生 

故目标被击中的概率为1－P(??)=1－

答案  A

2  解析  Eξ=(1+2+3)?=2，Eξ²=(1²+2²+3²)?=

∴Dξ=Eξ²－(Eξ)²=－2²= 

∴D(3ξ+5)=9Eξ=6 

答案  A

3  解析  由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=,

    答案  0.3

4  解析  因为每组人数为13，因此，每组选1人有C种方法，所以所求概率为P= 

答案 

5  解  (1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A，“乙射击一次击中目标”叫做事件B  显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A?B)?=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36

答