2009届高考数学快速提升成绩题型训练――不等式

1. 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时＞0  

(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；

(2)解不等式  f(x+)＜f()；

(3)若f(x)≤t²－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围 

2 设不等式x²－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围 

3. 解关于x的不等式＞1(a≠1)  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4. 设函数f(x)=a^x满足条件  当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围 

5. ，求关于不等式的解集。

6. 解关于。

7.已知

求证：（1）；（2）。

8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。

（1）    若时的值；

（2）    若 ，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。

9.已知函数在R上是增函数，。

（1）    求证：如果；

（2）    判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；

（3）    解不等式。

10.奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。

11. 设数列满足

     （Ⅰ） 证明：对一切正整数成立；

（Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由.

12. 设使,，求证：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

13. 已知函数,数列{}满足:

证明:（Ⅰ）;(Ⅱ).

14. 已知函数,数列满足:,

(1)证明:数列是单调递减数列.

（2）证明：

15. 若关于的不等式的解集是，求不等式的解集

16.设都是正实数,求证:

17、设，解关于的不等式   

18.过点作直线交正半轴于两点.

(1)若取到最小值,求直线的方程

(2)若的面积取到最小值,求直线的方程

19.设函数正实数满足，且

（1）求证：;         （2）求证：

20.已知函数,数列满足:,

(1)设证明:   （2）证明：

21. （1）设a>0，b>0且，试比较a^ab^b与a^bb^a的大小。

（2）已知函数，，试比较与的大小．

22. 已知实数a,b,c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax²+bx+c

(1)如果，证明：

(2)如果，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。

23. 已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有

和，其中是大于0的常数.

设实数a₀，a，b满足         和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

24. 己知，

（1）

（2），证明：对任意，的充要条件是；

（3）讨论：对任意，的充要条件。

25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

答案：

1. (1)证明  任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈［－1，1］，则f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=?(x₁－x₂)

∵－1≤x₁＜x₂≤1，

∴x₁+(－x₂)≠0，由已知＞0，又 x₁－x₂＜0，

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数 

(2)解  ∵f(x)在［－1，1］上为增函数，

∴  解得  {x|－≤x＜－1，x∈R}

(3)解  由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，

故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，

所以要f(x)≤t²－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t²－2at+1≥1成立，

故t²－2at≥0，记g(a)=t²－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，

只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，

解得，t≤－2或t=0或t≥2 

∴t的取值范围是  {t|t≤－2或t=0或t≥2} 

2. 解  M［1，4］有两种情况  其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围 

设f(x)=x² －2ax+a+2，有Δ=(－2a)²－(4a+2)=4(a²－a－2)

(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］

(2)当Δ=0时，a=－1或2 

当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］ 

(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2 

设方程f(x)=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

那么M=［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4

即，解得  2＜a＜，

∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，) 

3. 解  原不等式可化为  ＞0，

①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解 

由于

∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞) 

②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解 

由于,

若a＜0，,解集为(，2)；

若a=0时，，解集为；

若0＜a＜1，,解集为(2，)

综上所述  当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2） 

4. 解  由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)，x∈(0，1恒成立 

在x∈(0，1恒成立 

整理，当x∈(0，1)时，恒成立，

即当x∈(0，1时，恒成立，

且x=1时，恒成立，

∵在x∈(0，1上为减函数，∴＜－1，

∴m＜恒成立m＜0 

又∵，在x∈(0，1上是减函数，∴＜－1 

∴m＞恒成立m＞－1

当x∈(0，1)时，恒成立m∈(－1，0)        ①

当x=1时，，即是∴m＜0             &nb