2009届高考数学快速提升成绩题型训练――抽象函数

1. 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(),

试判断f(x)的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围

3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数f（x）对任意都有f（=f（，                              已知f（1）=2，求f（

5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+

f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。

6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.

（1）求证f（0）=1；

（2）求证：y=f（x）为偶函数.

7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？

8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0

（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；

（2）.若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。

9.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。

10．已知函数当时，恒有.

(1)求证: 是奇函数;

(2)若.

11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .

(1)求的值;

(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;

(3)若,,求数列{}的前项和.

12.已知定义域为R的函数满足.

(1)若

(2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.

13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.

(1)求;

(2)求和;

(3)判断函数的单调性,并证明.

14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.

(1)求的值;

(2)求证: 在R上是单调减函数;

(3)若且,求证:.

15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.

(1)证明:;

(2)证明: 在R上单调递减;

(3)设A=,B={},若=,试确定的取值范围.

16.已知函数是定义在R上的增函数,设F.

(1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;

(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.

17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.

(1)求的值;

(2)证明: 函数是周期函数;

(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.

18．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。

（1）证明：；

（2）若成立，求x的取值范围。

19．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

22. 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：

（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。

24. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）?g（b）是否正确，试说明理由。

25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：

①当是定义域中的数时，有；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

答案：

1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得

f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。

2. 分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m<。

3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（≥0，x

         ，         f（1）=2，

         同理可得

5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）≠1，故

f（x+2）=f（x+4）=.     所以f（x+8）=.

      所以f（x）是以8为周期的周期函数，

      从而f（2001）=f（1）=1997

说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。

     （2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），

且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数.

说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。

7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。令u=2-x，则当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。

8. 解：（1）.因为a＞b，所以a-b＞0，由题意得

＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）=－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）

（2）.由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜

令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1

9.解：等价于

10.（1）证明：令，得

      令，则

∴    ∴是奇函数。

（2）∵

     又∵

11.（1）解：令，则

令，则

  （2）证明：令，则，∵，∴

       令，则

       ∴是奇函数。

（3）当时，，令，则

   故，所以

∴

∵

∴，故

∴

12.解：(1)∵对任意，函数满足，且

  ∴

∵，∴=f(a)=a

(2) ∵对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得

∴对任意，有

上式中，令