17.如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是

梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，P、Q分别是CC₁、C₁D₁的中点。点P到直线

AD₁的距离为

⑴求证：AC∥平面BPQ

⑵求二面角B-PQ-D的大小

18.已知长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=8，E、F分别为AD和CC₁的中点，O₁为下底面正方形的中心。

    （Ⅰ）证明：AF⊥平面FD₁B₁；

（Ⅱ）求异面直线EB与O₁F所成角的余弦值；               

19. 图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：

       （1）求MN和PQ所成角的大小；

       （2）求四面体M―NPQ的体积与正方体的体积之比；

       （3）求二面角M―NQ―P的大小。

20. 如图，已知四棱锥P―ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

       （1）求点P到平面ABCD的距离；

       （2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

答案：

1. （1）正方形ABCD是四棱锥P―ABCD的底面, 其面积

为从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

    ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

    ∴PA⊥DA，

    ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，

      ∠PAB=60°.                

      而PB是四棱锥P―ABCD的高，PB=AB?tg60°=a,

     .                               

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

      作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

      是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

          设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

      在

     故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.

2. （1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁， ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE  ∴DE⊥AB₁

∴DE是异面直线AB₁与CD的公垂线段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

（3）连结B₁C，易证B₁C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B₁CB是二面角B₁―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,

∴∠B₁AC=60⁰

∴，  ∴,

∴  , ∴.

3. (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.

为二面角a―l―的平面角..

是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=

（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO  为二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

  （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.  为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,

异面直线AB,CD所成的角为arctg

4. 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,

                .

    当且仅当 .

故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为

5. (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

  （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．

由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

  （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h₁和h₂．则

           h₁∶h₂=EP∶AP=2∶3,

    故截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1

6. ∵F、G分别为EB、AB的中点，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，

    ∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

    ∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

    （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.

易求.

7. （1）在平面AD₁内，作PP₁∥AD与DD₁交于点P₁，在平面AC内，作

QQ₁∥BC交CD于点Q₁，连结P₁Q₁.

    ∵ ,     ∴PP₁QQ₁ .?

由四边形PQQ₁P₁为平行四边形,   知PQ∥P₁Q₁? ?

而P₁Q₁平面CDD₁C₁，  所以PQ∥平面CDD₁C₁?

（2）AD⊥平面D₁DCC₁，    ∴AD⊥P₁Q₁，?

又∵PQ∥P₁Q₁，   ∴AD⊥PQ.?

（3）由（1）知P₁Q₁ PQ,

，而棱长CD=1.     ∴DQ₁=.  同理可求得 P₁D=.

在Rt△P₁DQ₁中，应用勾股定理, 立得

P₁Q₁=.?

8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，

，。

  （Ⅰ）证明：由，，

，有，于是。

  （Ⅱ）E是AB的中点，得。

，，。

  设平面的法向量为，单位法向量为，

由，解得。

  于是，有。

设点E到平面的距离为，则

。

  所以点E到平面的距离为。

  （Ⅲ）平面的法向量，设平面的法向量。

又，。

 由，得

，解得，于是。

设所求的二面角为，则。

  有，得。

解得，

所以，当AE=时，二面角的大小为。

9. （1）取A₁C₁中点F，连结B₁F，DF，∵D₁E分别为AC₁和BB₁的中点，DF∥AA₁，

DF=（1/2）AA₁，B₁E∥AA₁，B₁E=（1/2）AA₁，∴DF∥B₁E，DF=B₁E，∴DEB₁F为平行四边形，∴DE∥B₁F，又B₁F在平面A₁B₁C₁内，DE不在平面A₁B₁C₁，∴DE∥平面A₁B₁C₁

（2）连结A₁D，A₁E，在正棱柱ABC―A₁B₁C₁中，因为平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，A₁C₁是平面A₁B₁C₁与平面ACC₁A₁的交线，又因为B₁F在平面A₁B₁C₁内，且B₁F⊥A₁C₁，，所以B₁F⊥平面ACC₁A₁，又DE∥B₁F，所以DE⊥平面ACC₁A₁所以∠FDA₁为二面角A₁―DE―B₁的平面角。并且∠FDA₁=（1/2）∠A₁DC₁，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA₁C₁=90⁰，D是AC₁的中点，所以即为所求的二面角的度数。

10．（I）连结DF，DC 　∵三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

　　∴CC₁⊥平面ABC，∴平面BB₁C₁C⊥平面ABC

　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB₁C₁C                                             3＇