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    镇江市2009届高三解析几何专项练习

    1．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．

    （1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；

    （2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    解：

    1．（Ⅰ）直线设．

     的倾斜角为，

    反射光线所在的直线方程为

    ．   即．

    已知圆C与

    圆心C在过点D且与垂直的直线上，  ①

    又圆心C在过点A且与垂直的直线上，　②，由①②得，

    圆C的半径r=3．

    故所求圆C的方程为．  

     

    （Ⅱ）设点关于的对称点，

    则            

    得．固定点Q可发现，当共线时，最小，

    故的最小值为为．              

    ，得最小值．

     

     

     

     

     

    2．(本小题满分15分)

    如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．设和的外接圆圆心分别为,．

    （Ⅰ）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；

    （Ⅱ）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；

    （Ⅲ）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．

     

    2 ．解：（Ⅰ）圆心．

    ∴圆方程为，

    直线CD方程为．           

    ∵⊙M与直线CD相切,

    ∴圆心M到直线CD的距离d=,         

    化简得： （舍去负值）．

    ∴直线CD的方程为．          

    （Ⅱ）直线AB方程为：，圆心N ．

      ∴圆心N到直线AB距离为．  

    ∵直线AB截⊙N的所得弦长为4，

    ∴．

    ∴a=±(舍去负值) ．                      

    ∴⊙N的标准方程为．   

    （Ⅲ）存在．

    由（Ⅱ）知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，

    ∴当且仅当圆N半径,即a=4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为 ．       

    此时， ⊙N的标准方程为．       

     

    3.(本题满分16分)

      设曲线Ｃ：的离心率为，右准线与两渐近线交于Ｐ，Ｑ两点，其右焦点为Ｆ，且△PQF为等边三角形。

     （1）求双曲线C的离心率；

     （2）若双曲线C被直线截得弦长为，求双曲线方程；

       （3）设双曲线C经过，以F为左焦点，为左准线的椭圆的短轴端点为B，求BF 中点的轨迹N方程。

     

    3. 解：⑴如图：易得P                           

    设右准线与轴的交点为M，

    ∵△PQF为等边三角形

    ∴|MF|=|PM|                                   

    ∴

    化简得：                                       

    ∴

    ∴            

     ⑵ 由⑴知：

    ∴双曲线方程可化为：，即   

    联列方程：

    消去得：

    由题意：    （*）                           

    设两交点A，B

    则

    ∴|AB|==

    化简得：，即

    解得：或，均满足（*）式              

    ∴  或

    ∴所求双曲线方程为：或   

      ⑶由⑴知双曲线C可设为：

    ∵其过点A      ∴

    ∴双曲线C为：                          

    ∴其右焦点F，右准线：

    设BF的中点N，则B               

    由椭圆定义得：（其中为点B到的距离）

    ∴

    化简得：

    ∵点B是椭圆的短轴端点，故

    ∴BF的中点的轨迹方程是：（或）

     

     

    4.（本小题满分12分）已知函数的图象经过点M（1,4），曲线在点M处的切线恰好与直线垂直。

    （1）求实数a、b的值；

    （2）若函数在区间上单调递增，求m的取值范围。

     

     

    解得a=1,b=3

    （2）

     

     

    6.（本小题满分12分）

    已知直线相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，，且点M在直线上.

       （Ⅰ）求椭圆的离心率；

       （Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.

    6.解：（Ⅰ）由知M是AB的中点，

    设A、B两点的坐标分别为

    由

    ，

    ∴M点的坐标为                                

    又M点的直线l上：

          

       （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为关于直线l：

    上的对称点为，

    则有                      

    由已知

    ，∴所求的椭圆的方程为                      

    7.已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，

    而的左、右顶点分别是的左、右焦点。

    （1）求双曲线的方程；

    （2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其

    中O为原点），求的范围

    7．解：（1）设双曲线的方程为 

    则，再由得，

    故的方程为    

    （2）将代入

    得  

    由直线与双曲线C2交于不同的两点得：

     

    且①            

    设，则

     

    又，得

    即，解得：②        

    由①、②得：

    故k的取值范围为 

    8．（本小题满分13分）

    已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.

    （1）写出抛物线C的方程；

    （2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；

    （3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

    解：（1）抛物线方程为：y2=2x.                                       

    （2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，

    得：k2x2-(k2+2)x+.

    设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.

    设△AOB的重心为G（x，y）则，

    消去k得y2=为所求，                                  

    ②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1），                

    △AOB的重心G（，0）也满足上述方程.

    综合①②得，所求的轨迹方程为y2=，                      

    （3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，

    根据圆的性质有：|MN|=2.    

    当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，

    设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.

    |PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，

    ∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，

    故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.                     

    9．（本题满分14分）已知圆，直线 ，与圆交与两点，点

    。

    （1）当时，求的值；   （2）当时，求的取值范围。

    9.解：（1）圆的方程可化为，故圆心为，半径

    当时，点在圆上，又，故直线过圆心，∴……

      从而所求直线的方程为                     

    （2）设由得

                 即

    ∴            ①        

    联立得方程组，化简，整理得

                ………….(*)

    由判别式得且有。。

    代入 ①式整理得,从而，又

    ∴可得k的取值范围是。。

     

    10．（本小题满分14分）已知△ABC三顶点分别为A（－3，0），B（3，0），C（x，y）.

       （1）当BC边上的高所在直线过点D（0，2）时，求点C的轨迹方程；

       （2）△ABC的周长为16时，点C在以A，B为焦点的椭圆上，求椭圆方程；

       （3）若斜率为k的直线与（2）中的椭圆交于不同的两点M，N，求证：当直线平行移动时MN的中点恒在一条过原点的直线上.

    解：10．（1）A（－3，0），B（3，0），D（0，2），C（x，y）

        则＝（3，2），=（x－3，y）

        由得3（x－3）+2y=0

        ∴C点的轨迹方程为3x+2y－9=0

       （2）三角形周长等于16，则|AC|+|BC|=2a=10

        a=5，c=3，b=4，椭圆

       （3）设斜率为k的直线方程为y=kx+m，

        则由得（16+25k2）x2+50km+25m2－400=0

        △>0时设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点G（x，y）

        由有x1+x2=

        y 1+y2=k（x1+x2）+2b=

        ∴（k为常数，m为参数）

        ∴G点轨迹方程为

        即y=－， 当k=0时，G点的轨迹为y轴所在的线段；

        当k≠0时，G点轨迹方程y=－

        即当直线平行移动时，MN的中点恒在一条过原点的直线上。


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