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2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学（必修+选修II）

 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至10页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（共60分）

注意事项：

1.       答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。

2.       每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，P(A?B)=P(A)?P(B)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.

试题详情

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三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

试题详情

（1）―（12）DACBD     BBAAD    CC

(13) 2      (14) 32     (15)     (16)34  

（1）定义集合运算：A⊙B=｛z?z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ D  ）

（A）0       （B）6           （C）12                 （D）18

解：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D

（2）函数y=1+a^x(0<a<1)的反函数的图象大致是（ A  ）

   （A）            （B）           （C）               （D）

解：函数y=1+a^x(0<a<1)的反函数为，它的图象是函数向右移动1个单位得到，选A

(3)设f(x)=  则不等式f(x)>2的解集为（  C ）

(A)（1，2）（3，+∞）                 (B)（，+∞）

(C)（1，2） （ ，+∞）            (D)（1，2）

解：令>2（x<2），解得1<x<2。令>2（x³2）解得xÎ（，+∞）

选C

（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=（  B  ）

(B)   1          （B）2           （C）―1           （D）

解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，选B

（5）设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（  D ）

(A)(2,6)         (B)(－2,6)         (C)(2,－6)              (D)(－2,－6)

解：设d＝（x，y），因为4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，选D

(6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ B  ）

(A)－1           (B) 0             (C)   1                 (D)2

解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数

f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选C

（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（  B ）

(A)          (B)            (C)                   (D)

解：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B

  （8）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的（  A  ）

（A）充分不必要条件                      （B）必要不充分条件

（C）充要条件                            （D）既不充分也不必要条件

解：p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－1<x<1或x>2，借助图形知选A

（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（  A ）

(A)33         (B) 34           (C) 35               (D)36

解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A

（10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中=－1，则展开式中常数项是（ A   ）

(A)－45i      (B) 45i        (C) －45            (D)45

解：第三项的系数为－，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为－可得n＝10，

则＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为＝45，选A

（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是（C    ）

(A)80      (B) 85         (C) 90           (D)95

解：画出可行域：

易得A（5.5，4.5）且当直线z＝10x＋10y过A点时，

z取得最大值，此时z＝90，选C

（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（  C  ）

(A)     (B)       (C)          (D) 

                                             （12题图）

解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C

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注意事项：

1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

得分

评卷人

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.

（13）若  2        .

解：      

（14）已知抛物线y²=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x₁，y₁),B(x₂，y₂)两点，则的最小值是  32        .

解：显然³0，又＝4（）³8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。

（15）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的 中点，则直线AD 与平面B₁DC所成角的正弦值为            .

                                                                （15题图）

解：易证B₁^平面AC₁，过A点作AG^CD，则

AG^平面B₁DC，于是ÐADG即ÐADC为直线AD 与平面B₁DC所成角，由平面几何知识可求得它的正弦值为。

（16）下列四个命题中，真命题的序号有                  （写出所有真命题的序号）.

①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=

②圆x²+y²+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2

③若sin(+)=，sin(－)=,则tancot=5

④如图，已知正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA₁D₁D的距离与到直线CC₁的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.

解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2|

②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=的距离为

>半径2，故圆与直线相离，                        

③正确，sin(+)=＝sincos＋cossin

sin(－)＝sincos－cossin＝

两式相加，得2 sincos＝，

两式相减，得2 cossin＝，故将上两式相除，即得tancot=5

④正确，点P到平面AD₁的距离就是点P到直线AD的距离，

点P到直线CC₁就是点P到点C的距离，由抛物线的定义

可知点P的轨迹是抛物线。

                                                            （16题图）

三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.

（I）求

（II）计算.

解：（I）

的最大值为2，.

又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，

.

过点，

又

.

（II）解法一：，

.

又的周期为4，，

解法二：

又的周期为4，，

18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.

解：由已知得函数的定义域为，且

（1）当时，函数在上单调递减，

（2）当时，由解得

、随的变化情况如下表

―

0

+

极小值

从上表可知

当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递增.

综上所述：

当时，函数在上单调递减.

当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

19．（本小题满分12分）

如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设

（1）求证直线是异面直线与的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角的大小。

解法1：

（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，

，

又，.

为与的公垂线.

（Ⅱ）解法1：过A作于D，

         ∵△为正三角形，

∴D为的中点.

∵BC⊥平面

∴，

又，

∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.

由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，

，

即，解得.

即A到平面的距离为.

则

所以，到平面的距离为.

(III)过点作于，连，由三重线定理知

是二面角的平面角。

在中，

。

。

所以，二面角的大小为arctan.

解法二：

取中点连,易知底面，过作直线交。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。

（I），，

，

。

    又

由已知。

，

而。

又显然相交，

是的公垂线。

（II）设平面的一个法向量，

  又

  由

取 得

点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。

，设所求距离为。

       则

              所以，A到平面VBC的距离为.

（III）设平面的一个法向量

由                                 

取    

二面角为锐角，

所以，二面角的大小为

20．（本小题满分12分）

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；

（3）计分介于20分到40分之间的概率。

解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，

则

解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为

所以.

（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.

所以随机变量的概率分布为

2

3

4

5

因此的数学期望为

（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则

21．（本小题满分12分）

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。

解：（Ⅰ）设双曲线方程为

    由椭圆 

求得两焦点为，

对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

  解得 ，

双曲线的方程为

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，

则

在双曲线上，

同理有：

若则直线过顶点，不合题意.

是二次方程的两根.

，

此时.

所求的坐标为.

解法二：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则.

，

分的比为.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则.

，

.

，

，，

又，

即

将代入得

，否则与渐近线平行。

。

解法四：

由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，

则

,

。

同理      

.

即    。                                    （*）

消去y得.

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有：

代入（*）式得    

所求Q点的坐标为。

22．（本小题满分14分）

已知，点在函数的图象上，其中

（1）证明数列是等比数列；

（2）设，求及数列的通项；

（3）记，求数列的前项，并证明

解：（Ⅰ）由已知，

              ，两边取对数得

，

即

是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

                                 （*）

                     =

              由（*）式得

（Ⅲ）

又

又

.