2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）

数学（文史类）

本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ｉ卷

注意事项：

１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式

如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式

如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中表示球的半径

次独立重复试验中恰好发生次的概率是

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

D

D

C

B

B

B

A

C

D

A

二、填空题

（13）45；（14）；（15）；（16）25

三、解答题

17、解：（1）由

由正弦定理知

（2）

由余弦定理知

（18）解：设的公比为q，由，所以得

……………………………………①

……………………………………②

由①、②式得

整理得

解得

所以 q＝2或q＝－2

将q＝2代入①式得，

所以

将q＝－2代入①式得，

所以

19解：设表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；

表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；

（1）依题意所求的概率为

(2)解法一：所求的概率为

解法二：所求的概率为

20．解法一：

（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C₁C，又C₁C∥＝B₁B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．     ……2分

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AC₁，ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线．……6分

（Ⅱ）连接A₁E，由AA₁＝AC＝AB可知，A₁ACC₁为正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和EDÌ平面ADC₁知平面

ADC₁⊥平面A₁ACC₁，∴A₁E⊥平面ADC₁．作EF⊥AD，垂足为F，连接A₁F，则A₁F⊥AD，∠A₁FE为二面角A₁－AD－C₁的平面角．

不妨设AA₁＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，

tan∠A₁FE＝，∴∠A₁FE＝60°．

所以二面角A₁－AD－C₁为60°．          ………12分

解法二：

（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．

设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B₁(0，b，2c)．

则C(－a，0，0)，C₁(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．   ……3分

＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．

?＝0，∴ED⊥BB₁．

又＝(－2a，0，2c)，

?＝0，∴ED⊥AC₁，    ……6分

所以ED是异面直线BB₁与AC₁的公垂线．

（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A₁(1，0，2)，

＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，

?＝0，?＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁＝A，

∴BC⊥平面A₁AD．

又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，

＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，

?＝0，?＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，

∴　　EC⊥面C₁AD．　　……10分

cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．

所以二面角A₁－AD－C₁为60°．          ………12分

（21）解：由f（x）为二次函数知

令f（x）＝0解得其两根为

由此可知

（i）当时，

的充要条件是，即解得

（ii）当时，

的充要条件是，即解得

综上，使成立的a的取值范围为

22．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

将①式两边平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　　y₁＝λ²y₂   ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x₁(x－x₁)＋y₁，y＝x₂(x－x₂)＋y₂，

即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．   ……4分

所以?＝(，－2)?(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以?为定值，其值为0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝

＝＝＋．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y₁＋y₂＋2＝λ＋＋2＝(＋)²．

于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)³，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．