2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数 学（理 科） 2009.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分。 考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式
, 其中
是锥体的底面积, 
是锥体的高.
如果事件
、
互斥，那么
.
如果事件、相互独立，那么
.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数
的最小正周期为
A．
B.
C.
D.
2．已知
i（1
i）（i为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时
的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时
至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为
A. 
万元
B. 
万元
C. 
万元
D.
万元
4．已知过
、
两点的直线与直线
平行，
则
的值为
A. 
B.
C. 
D. 
若输出的
的值等于
,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是
A．
? B.
?
C. 
? D.
?
6．已知
：关于
的不等式
的解集是R，
：
，则是的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
7．在
中，若
，则自然数
的值是
A．7
B．
8．在区间
上任意取两个实数
，则函数
在区间
上有且仅
一个零点的概率为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9～12题）
9. 若
，则
.
10．若
d=1, 则实数的值是
.
11.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图3所示，
则该几何体的侧面积为
cm
.
12．已知数列
的前项和为
，对任意
N
都有
，
且
（
N），则
的值为 ，
的值为 .
（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线
被圆
截得的弦长为__
.
14.（几何证明选讲选做题）已知
是圆
（为圆心）的切线，切点为
，
交圆于
两点，
，则线段
的长为
.
15．（不等式选讲选做题）已知
R，且
，则实数的取值范围为_____________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知△
的内角
所对的边分别为
且
.
（1）若
, 求
的值;
(2) 若△的面积
求
的值.
17.（本小题满分14分）
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为
和, 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为
.假设甲、乙两人射击互不影响.
（1）求的值；
（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为
，求的分布列和数学期望.
18. （本小题满分14分）
如图4,
在三棱锥
中，
平面，
,
分别是棱
的中点，连接
.
(1) 求证: 平面
平面;
(2) 若
, 当三棱锥的体积最大时,
求二面角
的平面角的余弦值.
图4
19．(本小题满分12分)
某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个
型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人人数为名（
N）.
（1）设完成型零件加工所需时间为
小时，写出的解析式；
（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，应取何值？
20．（本小题满分14分）
已知动圆
过点
，且与圆
相内切.
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）设直线
（其中
与（1）中所求轨迹交于不同两点，D，与双曲线
交于不同两点
，问是否存在直线
，使得向量
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
21. (本小题满分14分)
已知数列的相邻两项
是关于的方程
N
的两根,且
.
(1) 求数列和
的通项公式;
(2) 设是数列的前项和, 问是否存在常数
,使得
对任意N都成立,若存在, 求出的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
C
B
D
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分，第二个空3分．
9．
10．
11．
12．-1；4 13．
14．1
15. 
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）
解: (1)∵
, 且
,
∴ 
.
由正弦定理得
.
∴
.
(2)∵
∴
.
∴ 
.
由余弦定理得
,
∴
.
17．（本小题满分14分）
（本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力）
解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件，“乙射击一次,击中目标”为事件，“甲射击一次,
未击中目标”为事件
，“乙射击一次,未击中目标”为事件
，
则
，
.
依题意得
，
解得
.
故
的值为
.
（2）
的取值分别为
.
，
，
，
的分布列为
0
2
4
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
(1)
证明: ∵
分别是棱
的中点，
∴
是△
的中位线.
∴
.
∵
平面
平面
∴
平面
.
同理可证 
平面.
∵
平面
,
平面,
∴平面// 平面
.
(2) 求三棱锥
的体积的最大值, 给出如下两种解法:
解法1: 由已知
平面, 
,
∴
.
∴三棱锥的体积为
.
当且仅当
时等号成立，
取得最大值,其值为
, 此时
.
解法2：设
，在Rt△中，
.
∴三棱锥的体积为
.
∵
,
∴ 当
，即
时，取得最大值，其值为，此时
.
求二面角
的平面角的余弦值, 给出如下两种解法:
解法1:作
,垂足为
, 连接
.
∵ 平面，平面
平面,
∴ 平面.
∵ 
平面,
∴ 
.
∵ 
,
∴ 
平面
.
∵
平面,
∴.
∴ 
是二面角的平面角.
在Rt△
中,
,
∴
.
在Rt△
中,
,
.
∴二面角的平面角的余弦值为
.
解法2:分别以
所在直线为
轴, 
轴, 
轴,建立如图的空间直角坐标系
,
则
.
∴
.
设n
为平面
的法向量,
∴
即
令, 则
.
∴
为平面的一个法向量.
∵平面的一个法向量为
,
∴
.
∴二面角的平面角的余弦值为
.
19．（本小题满分12分）
（本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）
解：（1）生产150件产品，需加工型零件450个，
则完成型零件加工所需时间
N
，且
.
（2）生产150件产品，需加工型零件150个，
则完成型零件加工所需时间
N，且.
设完成全部生产任务所需时间为
小时，则为与的较大者.
令
，即
，
解得
.
所以，当
时，
；当
时，
.
故
.
当时，
，故在
上单调递减，
则在
上的最小值为
（小时）；
当时，
，故在
上单调递增，
则在上的最小值为
（小时）；
，
在
上的最小值为
.
.
答：为了在最短时间内完成生产任务，应取
.
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）
解：（1）圆
， 圆心
的坐标为
，半径
.
∵
，
∴点
在圆内.
设动圆
的半径为
，圆心为，依题意得
，且
，
即
.
∴圆心的轨迹是中心在原点，以
两点为焦点，长轴长为
的椭圆,设其方程为
, 则
.
∴
.
∴所求动圆的圆心的轨迹方程为
.
(2)由
消去化简整理得：
.
设
，
，则
.
△
. ①
由
消去化简整理得：
.
设
，则
,
△
同步练习册答案
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