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    3．球的表面积公式和体积公式:设球的半径为R.则球的表面积S＝ ,球的体积V＝ ． 典型例题 例1. 如图.A.B.C是半径为1的球面上的三点.B.C两点间的球面距离为.点A与B.C两点的球面距离都为.O为球心.求: (1) 的大小, (2) 球心O到截面ABC的距离． 解:(1) 因为B.C两点的球面距离为.即B.C两点与球心连线所夹圆心角为.点A与B.C两点的球面距离都为.即均为直角.所以 (2) 因为⊿BOC.⊿ABC都是等腰三角形.取BC的中点M.连OM.AM.过O作OH⊥AM于H.可证得OH即为O到截面ABC的距离． 变式训练1: 球面上有三点A.B.C.A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的.B和C之间的球面距离是大圆周长的.且球心到截面ABC的距离是.求球的体积． 解:设球心为O.由已知.易得∠AOB＝∠AOC＝.∠BOC＝.过O作OD⊥BC于D.连AD.再过O作OE⊥AD于E.则OE⊥平面ABC于E.∴OE＝. 在Rt△AOD中.由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π． 例2. 如图.四棱锥A-BCDE中..且AC⊥BC.AE⊥BE． (1) 求证:A.B.C.D.E五点都在以AB为直径的同一球面上, (2) 若求B.D两点间的球面距离． 解:(1) 因为AD⊥底面BCDE.所以AD⊥BC.AD⊥BE.又因为AC⊥BC.AE⊥BE.所以BC⊥CD.BE⊥ED．故B.C.D.E四点共圆.BD为此圆的直径． 取BD的中点M.AB的中点N.连接BD.AB的中点MN.则MN∥AD.所以MN⊥底面BCDE.即N的射影是圆的圆心M.有AM＝BM＝CM＝DM＝EM.故五点共球且直径为AB． (2) 若∠CBE＝90°.则底面四边形BCDE是一个矩形.连接DN.因为: 所以B.D两点间的球面距离是. 变式训练2:过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA.MB.MC． (1) 求证:MA2+MB2+MC2为定值, (2) 求△MAB.△MAC.△MBC面积之和的最大值． 解:(1) 易求得MA2+MB2+MC2＝4R2! (2) S△MAB+S△MAC+S△MBC＝≤(MA2+MB2+MC2)＝2R2(当且仅当MA＝MB＝MC时取最大值). 例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上.若过该球球心的一个截面.则图中三角形的面积是( ) A． B． C． D． 解:设正四面体为正四面体ABCD.分析截面图可知.截面经过正四面体的一条棱设为CD.又过球心.设截面与棱AB交于E点.则E为AB的中点.易求得截面三角形的面积为. 故选(C)． 变式训练3:已知三棱锥P-ABC中.E.F分别是AC.AB的中点.△ABC.△PEF都是正三角形.PF⊥AB. (1) 证明:PC⊥平面PAB, (2) 求二面角P-AB-C的平面角的余弦值, (3) 若点P.A.B.C在一个表面积为12π的球面上.求△ABC的边长. 解 (1) 连结CF.∵PE＝EF＝BC＝AC ∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF ∵AC平面PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面PAB. (2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC为所求二面角的平面角 设AB＝a, 则PF＝EF＝, CF＝, ∴cos∠PFC＝. (3) 设PA＝x, 球半径为R ∵PC⊥平面PAB.PA⊥PB ∵4πR2＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圆为球之小圆.由x2＝x·2R. 得△ABC的边长为2. 小结归纳 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

    参考公式：

    样本数据，，，的标准差

             其中为样本平均数

    柱体体积公式

       

    其中为底面面积，为高
     

    锥体体积公式

       

    其中为底面面积，为高

    球的表面积和体积公式

    ，

    其中为球的半径
     
     


    第Ⅰ卷

    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

    1．已知函数的定义域为，的定义域为，则

                    空集

    2．已知复数，则它的共轭复数等于

                                      

    3．设变量、满足线性约束条件，则目标函数的最小值为

    6               7              8                  23

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