(八)综合例题赏析 例9 设甲.乙.丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件.那么( ) A.丙是甲的充分条件.但不是必要条件 B.丙是甲的必要条件.但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件.也不是甲的必要条件 解 “甲是乙的必要条件 .即“甲乙 .“丙是乙的充分不必要条件 .即“丙乙. 且丙乙 . 因 丙乙甲 即丙是甲的充分不必要条件 故 应选A. 例10 已知直线x=a2+y2=4相切 .那么a的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解:r=2.圆心(1.0).a＞0.∴a＝3 应选C. 例11 设圆满足:①截y轴所得的弦长为2,②被x轴分成 的两段弧.其弧长的比为3∶1在满足条件①.②的所有圆中.求圆心到直线l∶x-2y=0的距 离最小的圆的方程 解:设所求圆的圆心P(a,b)半径r 由题设知.P到x,y轴的距离分别为|b|,|a|,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°.故其弦 长为r,有r2=2b2 由“圆P截y轴所得弦长为2 有r2=a2+1 ∴2b2-a2=1 P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 d=,得 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2) 2b2-a2=1 当且仅当a=b时上式等号成立.此时5d2=1从而d取得最小值 由此有 解得 或 又由r2=2b2,得r2=2. ∴所求圆方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2 例12 已知圆满足:①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段圆弧.其弧长的 比为3∶1,③圆心到直线l∶x-2y=0的距离为.求该圆的方程 解 设已知圆的圆心P(a,b).半径为r.由题设已知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角是90°.从而圆P截x轴所得弦长为r.又点P到x,y轴的距离分别为|b|,|a|圆P 截y轴所得弦长为2. r2=a2+1 (1) 由已知有.点P到直线x-2y=0的距离为.即 d= (2) 由圆P截y轴的弦长为2.易知|b|=1 (3) 联立.可得 或 代入(1)又得r= 于是所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2或(x-1)2+(y-1)2＝2 例13 设椭圆=1 的右焦点为F1.右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离. 则椭圆的离心率是 . 解: 例14 设直线2x-y-=0与y轴的交点为P.点P把圆(x+1)2+y2 ＝25的直径分为两段.则其长度之比是( ) A.或 B. 或 C. 或 D. 或 解:如下图 圆(x+1)2+y2＝25的圆心坐标是.半径r=5. 直线l:2x-3-＝0与y轴的交点P的坐标是(0.-). 设点P在直径AB上.所求即 |PA|∶|PB|. 由于|O′P|＝|＝2 则 |PA|∶|PB|＝＝7∶3或 |PA|∶|PB|＝＝3∶7或 故 应选A. 例15 设双曲线=1的半焦距为C.直线1过两点.已知原点到直线1的距离为c.则双曲线的离心率为( ) A.2. B. C. D. 解:∵直线1过, ∴1的方程为=1, 即bx+ay-ab=0 ∵原点(0.0)到1的距离为c.由点到直线的距离公式 .得c=又0＜a＜b,双曲线中c2=a2+b2, ∴ 整理得a2-4ab+b2=0,b=a. ∴c2=a2+b2=4a2,c=2a,e==2. 应选A. 例16 设F1和F2为双曲线-y2 =1的两个焦点.点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°.则△F1PF2的面积是( ) A.1 B. C.2 D. 解:由已知可得.F1(-.0).F2(.0) ∴|F1F2|=2,|F1F2|2=20 由∠F1PF2=90°, 得20=|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2 ① 由双曲线定义得︳PF1︳-︳PF2︳=2a=4.平方得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·︳PF1|=16 ② ①-②得2|PF1|·|PF2|=4 ∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2| 应选A. 例17 双曲线-x2=1的两个焦点坐标是 . 解:(0.).(0.-) 例18 如果双曲线的实半轴长为2.焦距为6.那么该 双曲线的离心率是( ) A. B. C. D.2 解:由题设知a=2,c=3. ∴e=. 应选C. 例19 已知点与抛物线y2=2px的焦点 的距离是5.则p= . 解:y2=2px的焦点坐标是(.0). ∴5= 解出p=4. 例20 直线l过抛物线y2=a的焦点.并 且与x轴垂直.若l被抛物线截得的线段长为4.则a= . 解:设抛物线焦参数为p.则a=2p. l是过焦点的直线且垂直于x轴即垂直于抛物线y2=a(x+1)的对称轴. ∴l被抛物线截得的线段即正焦弦长. ∴4=2p=a.即a=4. 例21 如果三角形的顶点分别是O.那么它的内切圆方程是 . 解:设内切圆心为O′.则O′到x.y轴等距.其距离即内切圆半径r.又O′在第四象限木. 所以O′. 直线AB的方程是＝18x-15y-120＝0 即±17r＝23r-120.解得r＝3. 例22 焦点在的抛物线方程是 ( ) A.y2=8(x+1) B.y2=-8(x+1) C.y2=8(x-1) D.y2=-8(x-1) 解:设抛物线焦参数为p.则焦点和顶点的距离是.即==2.得p=4. 又抛物线顶点坐标为. ∴y2=-8(x-1)为所求. 应选D. 例23 圆x2+y2-2x＝0和圆x2+y2-4x＝0的位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 解 C1∶(x-1)2+y2＝1,O1(1,0),r1＝1 C2∶x2+(y-2)2＝4,O2(0,2),r2＝2 因 |O1O2|＝＜r1+r2＝3,且＞|r1-r2|＝1, 则 两圆相交 应选C. 例24 设曲线C的方程是y=x3-x.将C沿x轴.y轴正 向分别平行移动t.s单位长度后得曲线C1. (1)写出曲线C1的方程, (2)证明曲线C与C1关于点A(.)对称, (3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点.证明S=-t且t≠0. 解:(1)曲线C1的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s (2)在曲线C上任取点B1(x1.y1).设B2(x2.y2)是B1关于点A的对称点.则有.. ∴x1=t-x2.y1=s-y2 代入曲线C的方程.得x2和y2满足方程: S-y2=(t-t2)3-(t-x2). 即y2=(x2-t)2-(x2-t)+s. 可知点B(x2-y2)在曲线C1上 反过来.同样可以证明.在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上. ∴曲线C与C1关于点A对称. (3)∵曲线C与C1有且仅有一个公共点. ∴方程组.有且仅有一组解. 消去y.整理得 3tx2-3t2x+(t3-t-S)=0. 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根 ∴t≠0.并且其根的判别式 Δ=9t4-12t(t3-t-S)=0. 即 ∴S=-t且t≠0 例25 已知椭圆=1.直线L∶=1.P是L上 一点.射线OP交椭圆于R.又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2.当点P在L上移动 时.求点Q的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线. 解:如图. 由题设知Q不在原点.设P.R.Q的坐标分别为(xP.yP).(xR.yR).(x.y)其中x .y不同时为零. 当点P不在y轴上时.由于点R在椭圆上及点O.Q.R共线.得方程组, 解得 由于点P在直线l上及点O.Q.P共线.得方程组: ③.解得 ④ 当点P在y轴上时.经检验①-④也成立. ∵│OQ│·│OP│=│OR│2 ∴·. 将代入上式.化简整理得 . 因x与xP同号或y与yP同号.以及③.④知2x+3y＞0. ∴点Q的轨迹方程为=1.其中 点Q的轨迹是以(1.1)为中心.长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆. 解法二:由题设知点Q不在原点. 设P.R.Q的坐标分别为(xP.yP).(xR.yR).(x,y)其中x.y不同时为零. 设OP写x轴正方向的夹角为α.则有 xP=│OP│cosα.yP=│OP│sinα, xR=│OR│cosα.yR=│OR│sinα, x=│OQ│cosα.y=│OQ│sinα, 又│OP│·│OQ│=│OR│2.可得 ① ② ∵点P在直线l上.点R在椭圆上. ∴.将代 入.得 =1.. ∴Q点的轨迹是以(1.1)为中心.长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆. 例26 已知直线L过坐标原点.抛物线C的顶点在原点.焦 点在x轴正半轴上.若点A关于L的对称点都在C上.求直线L和抛物线的 方程. 解法一:如图. 由题意可设抛物线C的方程为y2=2px .且x轴和y轴不是所求直线.又l过原点.所 以可设l的方程y=kx ① 设A′.B′分别是A.B关于l的对称点.则有. A′A⊥l.直线AA′的方程为 y=-(x+1).② 由①.②联立得AA′与l的交点M的坐标为(-.-). 由M为AA′的中点.得点A′的坐标为. xA′=2(-)+1=. yA′=2()+0=-③ 同理可得点B的坐标为(.). ∵A′.B′均在抛物线y2=2px 上. ∴(-)2=2p·.知k≠±1 .p=. 同理()2=2p·.得p=. ∴. 整理得k2-k-1=0. 解得k1=.k2=. 但当k=时. =-＜0.与A′在抛物线y2=2px上矛盾.故舍去. 把k=代入p=. ∴直线方程为y=x.抛物线方程为y2=x. 解法二:设点A.B关于直线l的对称点A′(x1.y1).B′(x2.y2).则有 │OA′│=│OA│=1.│OB′│=│OB│=8 设x轴正向到OB′的转角为α.则有 x2=8cosα.y2=8sinα ① ∵A′.B′是A.B关于直线l的对称点. 又∠BOA是直角. ∴∠B′OA′为直角.得 x1=cos(α-)=sin α.y1=sin(α-)=-cosα ② 由题意知.x1＞0.x2＞0.故α为第一象限角. ∵A′.B′都在抛物线y2=2px上. ∴cos2α=2p·sinα.64sin2α=2p· cosα ∴8sin3α=cos3α.得2sinα=c osα 解得sinα=.cosα=. 代入cos2α=2psinα.得p=. ∴抛物线方程为y2=x. ∵直线l平分∠BOB′. ∴l的斜率k=tg(α+(-α))=tg(+) =. ∴ 直线l的方程为y=x. 例27 在面积为1的△PMN中.tgM=.tgN=-2.建立适当的坐标系.求出M.N为焦点且过点P的椭圆方 程. 解:如图 以MN所在直线为x轴.以线段MN的垂直平分线为y轴建立坐标系. 设以M.N为焦点且过P点的椭圆的方程为 =1 点M.N的坐标分别为. 由tgM=.tg∠PNx=tg=2.得 直线PM和直线PN的方程分别为 y= . 将两方程联立得.即P(c,c). 已知△MNP的面积为1. ∴1=|MN|·yP=·2c·c=c2. 得c=.P(.). ∵|PM|= =. |PN|= =. ∴2a=|PM|+|PN|=,a=. b2=a2-c2=()2-()2=3 . ∴=1为所求椭圆方程. 例28 自点A发出的光线L射到x轴上.被x轴反射.其反射光线所在直 线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切.求光线L所在的直线方程. 解 设反射光线为L′ 由于 L和L′关于x轴对称.L过点A.点A关于x轴的对称点A′. 于是 L′过A. 设L′的斜率为k.则L′的方程为 y-］.即kx-y+3k-3＝0. 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1.圆心O的坐标为(2.2).半径r＝1 因L′和已知圆相切.则O到L′的距离等于半径r＝1 即 整理得12k2-25k+12＝0 解得k＝或k＝ L′的方程为y+3＝ (x+3);或y+3＝ (x+3). 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. 例29 已知椭圆的中心在坐标原点O.焦点在坐标轴上.直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q.且OP⊥OQ.|PQ|=.求椭圆的方程. 解:设所求椭圆的方程为=1. 依题意知.点P.Q的坐标满足方程组: 将②代入①.整理得 (a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0. ③ 设方程③的两个根分别为x1.x2.则直线y=x+1和椭圆的交点为. P(x1,x1+1).Q(x2,x2+1) 由题设OP⊥OQ.|OP|=.可得 整理得 解这个方程组.得 或 根据根与系数的关系.由(3)式得 (Ⅰ) 或 (Ⅱ) 解方程组得 或 故所求椭圆方程为 =1.或=1. 例30 如图所示.给出定点A和直线l∶x＝-1.B是直线l上的动 点.∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程.并讨论方程表示曲线类型与a值的关系. 本小题主要考查曲线与方程.直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基本技能和综合 运用数学知识解决问题的能力. 解法一 依题意.记B.则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝-bx. 设点C(x,y).则有0≤x＜a.则OC平分∠AOB.知点C到OA.OB距离相等.根据点到直线的距 离公式得 |y|＝ ① 依题设.点C在直线AB上.故有 y＝- (x-a) 由x-a≠0得b＝- ② 将②式代入①式得 y2［1+］＝［y-］2 整理得 y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］＝0 若y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2＝0(0＜x＜a＝, 若y=0.则b＝0,∠AOB＝π.点C的坐标为(0.0).满足上式. 综上得点C的轨迹方程为 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2＝0. (Ⅰ)当a＝1时.轨迹方程化为y＝x; ③ 此时.方程③表示抛物线孤段, (Ⅱ)当a≠1时.轨迹方程化为 ＝1. ④ 所以.当0＜a＜1时.方程④表示椭圆弧段. 当a＞1时.方程④表示双曲线一支的弧段. 解法二 如图所示.设D是I与x轴的交点.过点C作CE⊥x轴.E是垂足. (Ⅰ)当|BD|≠0时.设点C(x,y).则0＜x＜a,y≠0. 由CE∥BD得 |BD|＝(1+a) 因 ∠COA＝∠COB＝∠COD-∠BOD 则 2∠COA＝π-∠BOD, tg＝,tg＝-tg∠BOD 又因 tg∠COA＝,tg∠BOD＝ (1+a). 故 (1+a). 整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2＝0 . (Ⅱ)当|BD|＝0时.∠BOA＝π.则点C的坐标为(0.0).满足上式. 综合.得点C的轨迹方程为 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2＝0(0≤x＜a＝. 例31 已知点P在直线x=2上移动.直线l通过原点且OP垂直 .过点A(1.0)和点P的直线m和直线l交于点Q.求点Q的轨迹方程.并指出该轨迹的名称和它 的焦点坐标. 解:设点P的坐标为(2.y1).则直线OP的斜率 kOP=. ∵l⊥直线OP. ∴直线l的斜率k1满足kOP·k1=-1.即·k1=-1.得k 1=-. 又直线l过原点.所以l的方程为y=-x. ∵直线m过点A(1.0).P(2.y1). ∴m的方程为y1x-y-y1=0 由l的方程得y1=-代入m的方程得--y+=0.即2x2+y2-2x=0. 显然点Q与点A(1.0)不重合.故x≠1. 又2x2+y2-2x=0可化为 =1 . ∴Q点的轨迹是挖去点(1.0)的椭圆.该椭圆的焦点坐标是(.)和(.-). [同步达纲练习] 【
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