(一)综合例题赏析 例11 设a.b是两条异面直线.那么下列四个命题中的假命题是( ) A.经过直线a有且只有一个平面平行于直线b B.经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b C.存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面 D.存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面 解:B是假命题.因为对于异面直线a.b.有时不存在过直线a且垂直于直线 b的平面. 如图.直线a是圆柱体的轴线.M.N分别为上下底圆周上的点且MN∥a.令b为直线MN. 则a.b为异面直线. 过直线a的平面以直线a为轴旋转.它们均与b不垂直. 例12 已知异面直线a与b所成的角为50°.P为空间一定点.则过点P与a.b 所成的角都是30°的直线有且仅有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D .4条 解:如图过点作PA∥a.PB∥b.则∠APB的异面直线a.b所成的平面角.由已知∠APB＝50°. 作∠APB的平分线PO.任取O∈PO.作CO⊥平面APB.令CB⊥PA于A.CB⊥PB于B.则由三垂线 定理知.OA⊥PA于A.OB⊥PB于B. 考虑C点沿平面APB的垂线OC自O点出发向上移动.易知∠CPB∈. ∴存在唯一点C使∠CPB＝∠CPA＝30°. 同理在垂线CO的下方还存在对称点C′.使∠C′PA＝∠C′PB. ∴符合题设的直线有且只有两条.应选B. 例13 如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.直线BC1与直线AC( ) A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直 解:直线BC1和AC异面不垂直. ∵BC1∥AD1. ∴∠CAD1为异面直线AC.BC1所成的角. 在△CAD1中.CA＝AD1＝D1C. ∴∠CAD1＝60° 即AC和BD1成60°角. 应选D. 例14 设a.b是异面直线.那么( ) A.必然存在唯一的一个平面同时平行于直线a和b B.必然存在唯一的一个平面同时垂直于直线a和b C.过直线a存在唯一的一个平面平行于直线b D.过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b 解:A不正确.因为垂直于异面直线a.b公垂线的任何一个平面都与a.b平行 . B不正确.若a⊥α.且b⊥α.则a∥b.此与a.b异面矛盾. C正确. D不正确.有时过直线a的所有平面都与直线b不垂直. ∴应选C. 【
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