设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．

函数f(x)=

a

x

+lnx，其中a为实常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a=0，设g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，h（n）=

1

23

+

2

32

+

3

43

+…+

n-1

n3

（n≥2，n∈N₊）．是否存在实常数b，既使g（n）-f（n）＞b又使h（n）-f（n+1）＜b对一切n≥2，n∈N₊恒成立？若存在，试找出b的一个值，并证明；若不存在，说明理由．