1．化归与转化 [例1]已知集合A={2.3.5.6.8}.B={1.3.5.7.10}．集合C满足:①若将C中的各元素均减2.则新集合C1就变为A的一个子集,②若将C中的各元素均加3.则新集合C2就变为B的一个子集,③C中的元素可以是一个一元二次方程的不等实数根．试根据以上条件.用列举法表示集合C． [分析]本小题重点检测文字语言向符号语言转换的能力．条件③即就是集合C中的元素个数为2．从子集的定义出发.并将条件①.②分别转换成另一种表述方式.可使问题顺利求解． [解]将①换一种说法.即若将A中的各个元素均加2.得新集合A1.则CA1.即C{4.5.7.8.10},将②换一种说法.即若将B中的各个元素均减3.得新集合B1.则CB2.即C{-2.0.2.4.7}．于是C({4.5.7.8.10}∩{-2.0.2.4.7})={4.7}．又由条件③知.集合C中的元素恰有两个.于是C={4.7}． [点悟]①解题关键点是正确地将文字语言翻译成集合语言． ②解题规律是当直接求解不易时.可考虑问题的反面或换一种表述方式.如本题中将“C1为A的子集 换为“C1A .再换为“CA1 ,将“C2为B的子集 换为“C2B .再换为“CB2 .这样迅速地破解了问题． ③本题的一个拓广是:将条件③去掉.则问题便是求集合{4.7}的非空子集(想一想:为什么集合C不能为空集).答案为{4}.或{7}或{4.7}． [例2]设A=.B=． (1)若A∩B=B.试求实数a.b所满足的条件, (2)若A∪B=B.试求实数a.b所满足的条件． [分析]利用A∩B=B与BA的等价性及A∪B=B与AB的等价性将问题进行转化.注意分类讨论思想的运用． [解]解方程.得 x= -3或x=6.于是A={-3.6}． (1)因A∩B=B.故BA.即B{-3.6}.从而B=.或B={-3}.或B={6}.或B={-3.6}． 若B=.则方程无实数解.于是⊿=, 若B={-3}.即方程有相等的实数根且该根为x= -3．从而由韦达定理可得a= 6.b=9, 若B={6}.即方程有相等的实数根且该根为x= 6．从而由韦达定理可得a= -12.b=36, 若B={-3.6}.即方程的两根为x= -3和 x=6．从而由韦达定理可得a= -3.b= -18． 综合上面的讨论可知.当A∩B=B时.或a= 6.b=9或a= -12.b=36或a= -3.b= -18． (2)因A∪B=B.故AB.即{-3.6}B．又B为一元二次方程的解集.故B中的元素最多只有两个.从而A=B.于是a= -3.b= -18． [点悟]①解题关键点是善于将A∪B=B等价转化为AB.将A∩B=B等价转化为BA ． ②解题规律是当已知方程的两不等实数根时.除可使用韦达定理求解a.b外.还可直接将两根均代入方程得到关于a.b的二元方程组.然后求解方程组得出a.b的值,如方程只有唯一的一个实数根m.则:实数根m满足方程且根的判别式为0．另外第(1)小题中的B={-3.6}的情形.也可这样求解:因B=A.故方程x2-3x-18=0与方程等价.利用对应项系数成比例即得a= -3.b= -18． ③解题易错点是遗漏空集亦满足性质:A∩=,另外结论的表示混乱.如将第(1)小题的结论表示成a=6或a= -12或a= -3.b=9或b=36或b= -18.及． 【
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