4．分类讨论法 [例8]已知三个集合A={x∣x2-3x+2=0}.B={x∣x2-ax+a=1}.C={x∣x2-bx+2=0}．试问同时满足BA且C?A的实数a和b是否存在?若存在.求出a.b的所有值,若不存在.请说明理由． [分析]先化简集合A.B及C.然后运用条件BA且C?A探求a与b的值或说明其不存在． [解]由 x2-3x+2=0.解得 x=1或x=2.于是A={1.2}． 由x2-ax+a=1.解得 x=1或x=a -1．于是. 当a=2时.B={1},当a≠2时.B={1.a-1}． 先求实数a的可能取值: 当a=2.即B={1}时.不满足BA.故a≠2, 当B={1.a-1}.即a≠2时.由BA.得a-1≠2.于是a≠3． 其次求实数b的可能取值: 对于方程x2-bx+2=0.其判别式 ⊿=b2-8． 当⊿<0.即时.方程x2-bx+2=0无解.C=.显然满足题设, 当⊿=0.即b= 时.方程x2-bx+2=0的解为x=.C＝{}.即C={}(当b=)或C={}(当b=).此时.不能满足C?A.故b≠, 当⊿>0.即或时.方程x2-bx+2=0有两个不等实数根..于是C={.}．若C?A.则必有1∈C或2∈C．但·=2.故.均不能为1或2.从而此种情形下无解． 故满足条件的实数a与b均存在.且a∈R.a≠2.3.． [点悟]①解题关键点是弄清每一个集合中的元素.理清集合间的关系.正确合理使用题中所给信息.对问题所及方面进行正确的分类． ②解题技巧是对集合A.B与C的化简及对集合A与B的分别求解． ③解题易错点是忽视对集合元素的互异性的检验.遗漏空集是任何非空集合的真子集的情形.忽视对集合B的元素个数是一个还是两个的讨论． [例9]设集合A={x∣x2+px+1=0}.B={ x∣x >0}.当A∩B=.求实数p的取值范围． [分析]利用根的判别式与0的大小关系分A为空集和非空集的情况讨论求解． [解]因 A∩B=.故 A=或A中的元素只有非正数． 若A=.则⊿=p2-4<0.解得 -2< p<2, 若A中的元素只有非正数.则 ⊿≥0且= -p≤0..解得 p≥2． 于是实数p的取值范围为p>-2． [点悟]①解题关键点是将集合语言准确地翻译成文字语言.即转换成一种更为直观浅显的条件． ②解题规律是对于含有参数的一元二次方程根的情况可使用判别式法进行讨论求之． ③解题易错点是忽视A=的情况.引起失解.缩小p的取值范围． [例10]已知集合P=． (1)若P中只有一个元素.试求a的值.并把这个元素写出来, (2)若P中至多只有一个元素.试求a的取值范围． [分析]x2前的系数为a.它在变化.故须对a进行讨论:它可能是一元一次方程.也可能是一元二次方程,它可能有实数根.也可能无实数根． [解]集合P表示方程在实数范围内的解的集合． (1)当时.⊿=.a =4.方程有两个相等的实数根.P中只有一个元素,当a=0时.方程为一元一次方程.方程只有唯一解．故当P中只有一个元素时.a=4或0．当a=4时.元素为,当a=0时.元素为． (2)P中至多只有一个元素.包含P为空集和P中只有一个元素两种情形．当P为空集时.由及⊿=解得a>4.从而a的取值范围为或a=0． [点悟]①解题关键点是正确审题.搞清“只有一个 与“至多只有一个 的真正含义并注意它们的区别.注意参数a所在的位置(这里的a在二次项系数前.因而方程未必为二次的)对解题的影响． ②解题规律是根的判别式⊿只适用于实系数一元二次方程根的讨论． ③解题易错点是混淆“空集是不含任何元素的集合 的概念.从而遗漏对空集情况的检验讨论,另一方面容易忽视对方程次数即a=0的情况的讨论． 【
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