5．用集合思想解题 [例11]一次大型会议有2002位代表参加.每位代表至少有1335位合作者．试问这些代表中是否总可以找到四位代表.他们中的每两位都合作过?请证明你的结论． [分析]以合作的人数最少(2人)的情况为基础.构造集合.利用集合元素的个数的计数原理.使合作的人数增多． [解]记各代表为ai(i=1,2,3,-,2002).与ai合作过的代表组成的集合记为Ai.任取合作过的两位代表为a1.a2.于是 card(A1)≥1335.card(A2)≥1335. card(A1∪A2)≤2002.card (A1∪A2∪A3)≤2002． 画出韦恩图.得 card(A1∩A2)= card(A1)+ card(A2)- card(A1∪A2) ≥1335+1335-2002=668>0. 从而.存在代表a3Î A1∩A2.且a3Ï{ a1.a2}． 又card(A1∩A2∩A3)= card[(A1∩A2)∩A3] = card(A1∩A2)+ card(A2)- card[(A1∩A2)∪A3] ≥668+1335- card[(A1∪A2)∪A3] ≥2003-2002=1． 于是.存在代表a4Î A1∩A2∩A3.且a4Ï{ a1.a2.a3}.即存在代表a1,a2, a3, a4.两两合作过． [点悟]①解题关键点是构造集合.利用集合思想进行解题． ②解题规律是画韦恩图.得到关于集合的元素个数的计数原理:card(A∩B)= card(A)+ card(B)- card(A∪B)． 利用集合思想解题.使问题变得简洁.思路显得清晰． ③解题易错点容易误认为:card(A∪B)= card(A)+ card(B)． 【
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