函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增.在单调递增.又知函数在处连续.因此在单调递增.同理减区间的合并也是如此.即相邻区间的单调性相同.且在公共点处函数连续.则二区间就可以合并为一个区间. [例]用导数求函数()的单调区间. 解:(用第一种关系及单调区间的合并).当.即或时.∴在.上为增函数.又∵在处连续.且相邻区间的单调性又相同.∴在上为增函数. 旧教材很少提到函数单调区间的合并.原因在于教师很难讲.学生很难把握.但是新教材引进函数的连续性和导数之后就很容易说明.也很容易理解了. 综之.用导数证明划分函数的单调性是导数最常用.也是最基本的应用.其它重要性如极值.最值等都必须用到单调性.它比用单调性的定义证明要简单许多.划分也容易理解得多.讨论可导函数得单调性可按如下步骤进行: (1) 确定的定义域,(2)求.令.解方程求分界点, (3)用分届点将定义域分成若干个开区间, (4)判断在每个开区间内的符号.即可确定的单调性. 以下是前几年高考用导数证明.求单调性的题目.举例说明如下: 例1设.是上的偶函数. (I)求的值,(II)证明在上是增函数. 解:(I)依题意.对一切有.即. ∴对一切成立.由此得到..又∵.∴. (II)证明:由.得. 当时.有.此时.∴在上是增函数. 例2设函数.其中. (I)解不等式,(II)证明:当时.函数在区间上是单调函数. 解1:(I)分类讨论解无理不等式. 解2:(i)当时.有.此时.函数在区间上是单调递减函数.但.因此.当且仅当时.. (ii)当时.解不等式.得.在区间上是单调递减函数.解方程.得或. ∵. ∴当且仅当时.. 综上.(I)当时.所给不等式的解集为:, 当时.所给不等式的解集为:. (II)当且仅当时.函数在区间上时单调函数. 例3设.求函数的单调区间. 解:() 当.时. .. (i)当时.对所有.恒有.即.此时在单调递增, (ii)当时.对.恒有.即.此时在单调递增.在单调递增. 又知函数在处连续.因此在单调递增, (iii)当时.令.即. 解得或.因此.函数在单调递增.在单调递增.令.即. 解得. 因此.函数在上单调递减. 本题用传统作差比较法无法求函数的单调区间.只有用导数才行. 【
查看更多】
题目列表(包括答案和解析)
