题目列表(包括答案和解析)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
,
则,即
.不防设
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)证明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如图,作于点H,连接DH.由
,
,可得
.
因此,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值为
.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
当时
单调递减;当
时
单调递增,故当
时,
取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
. ①
令则
当时,
单调递增;当
时,
单调递减.
故当时,
取最大值
.因此,当且仅当
时,①式成立.
综上所述,的取值集合为
.
(Ⅱ)由题意知,令
则
令,则
.当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.故当
,
即
从而,
又
所以因为函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
使
即
成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值
对一切x∈R,f(x)
1恒成立转化为
从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
若方程x2+(m-2)x-m+5=0的两个根都大于2,求实数m的取值范围.
阅读下面的解法,回答提出的问题.
解:第一步,令判别式Δ=(m-2)2-4(-m+5)≥0,
解得m≥4或m≤-4;
第二步,设两根为x1,x2,由x1>2,x2>2得
,所以
.
所以m<-2.
第三步,由得m≤-4.
第四步,由第三步得出结论.
当m∈(-∞,-4]时,此方程两根均大于2.
但当取m=-6检验知,方程x2-8x+11=0两根为x=4±,其中4-
<2.
试问:产生错误的原因是什么?
设椭圆的左、右顶点分别为
,点
在椭圆上且异于
两点,
为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与
的斜率之积为
,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明直线
的斜率
满足
【解析】(1)解:设点P的坐标为.由题意,有
①
由,得
,
由,可得
,代入①并整理得
由于,故
.于是
,所以椭圆的离心率
(2)证明:(方法一)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为
.
由条件得消去
并整理得
②
由,
及
,
得.
整理得.而
,于是
,代入②,
整理得
由,故
,因此
.
所以.
(方法二)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为
.
由P在椭圆上,有
因为,
,所以
,即
③
由,
,得
整理得
.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n):
记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
(1) 对如下数表A,求K(A)的值;
1 |
1 |
-0.8 |
0.1 |
-0.3 |
-1 |
(2)设数表A∈S(2,3)形如
1 |
1 |
c |
a |
b |
-1 |
求K(A)的最大值;
(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。
【解析】(1)因为,
所以
(2) 不妨设.由题意得
.又因为
,所以
,
于是,
,
所以,当
,且
时,
取得最大值1。
(3)对于给定的正整数t,任给数表如下,
|
|
… |
|
|
|
… |
|
任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每一个数换成它的相反数,所得数表
,并且
,因此,不妨设
,
且。
由得定义知,
,
又因为
所以
所以,
对数表:
1 |
1 |
… |
1 |
|
… |
|
|
|
… |
|
-1 |
… |
-1 |
则且
,
综上,对于所有的,
的最大值为
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com