解: 2+y2=(a-c)2. 因为B2M.B2N与该圆切于M.N点.所以B2.M.F1.N四点共圆. 且B2F1为直径.则过此四点的圆的方程是. 从而两个圆的公共弦MN的方程为 cx+by+c2=(a-c)2.又点B1在MN上.∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2. ∴2a2-2ac-c2=0.即e2+2e-2=0.∴ , .MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2.由已知.∴b=c. 而原点到MN的距离 . ∴a=4.b2=c2=8.所求椭圆方程是, (3)假设这样的椭圆存在.由(2)则有 . 故得求得. 即当离心率取值范围是时. 直线MN的斜率可以在区间内取值. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2,2),且抛物线的焦点为F1.

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点,当以AB为直径的圆P与y轴相切时,求直线l的方程和圆P的方程.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中,设出椭圆的方程,然后结合抛物线的焦点坐标得到,又因为,这样可知得到。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到

,再利用可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。

解:(Ⅰ)设椭圆E的方程为

①………………………………1分

  ②………………2分

  ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

所以椭圆E的方程为…………………………4分

(Ⅱ)依题意,直线OC斜率为1,由此设直线l的方程为y=-x+m,……………5分

 代入椭圆E方程,得…………………………6分

………………………7分

………………8分

………………………9分

……………………………10分

    当m=3时,直线l方程为y=-x+3,此时,x1 +x2=4,圆心为(2,1),半径为2,

圆P的方程为(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分

同理,当m=-3时,直线l方程为y=-x-3,

圆P的方程为(x+2)2+(y+1)2=4

 

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(2011•重庆一模)给出以下4个命题:
①曲线x2-(y-1)2=1按
a
=(1,-2)平移可得曲线(x+1)2-(y-3)2=1;
②若|x-1|+|y-1|≤1,则使x-y取得最小值的最优解有无数多个;
③设A、B为两个定点,n为常数,|
PA
|-|
PB
|=n,则动点P的轨迹为双曲线;
④若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,P是该椭圆上的任意一点,延长F1P到点M,使|F2P|=|PM|,则点M的轨迹是圆.
其中所有真命题的序号为
②④
②④

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给出以下4个命题:
①曲线x2-(y-1)2=1按=(1,-2)平移可得曲线(x+1)2-(y-3)2=1;
②若|x-1|+|y-1|≤1,则使x-y取得最小值的最优解有无数多个;
③设A、B为两个定点,n为常数,||-||=n,则动点P的轨迹为双曲线;
④若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,P是该椭圆上的任意一点,延长F1P到点M,使|F2P|=|PM|,则点M的轨迹是圆.
其中所有真命题的序号为   

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解答题

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

(1)

求双曲线C的方程;

(2)

若Q是双曲线C上的任一点,F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.

(3)

设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线L经过M(-2,0)及AB的中点,求直线L在y轴上的截距b的取值范围.

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解答题

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径为圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

(1)

求双曲线C的方程;

(2)

若Q是双曲线C上的任一点,F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.

(3)

设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点,另一直线L经过M(-2,0)及AB的中点,求直线L在y轴上的截距b的取值范围.

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