已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋mx，当x＝0时，函数f(x)取得极大值．

(Ⅰ)求实数m的值；

(Ⅱ)已知结论∶若函数f(x)＝ln(x＋1)＋mx在区间(a，b)内导数都存在，且a＞－1，则存在x₀∈(a，b)，使得．试用这个结论证明∶若－1＜x₁＜x₂，函数，则对任意x∈(x₁，x₂)，都有f(x)＞g(x)；

(Ⅲ)已知正数λ₁，λ₂，…λ_n，满足λ₁＋λ₂＋…＋λ_n＝1，求证∶当n≥2，n∈N时，对任意大于－1，且互不相等的实数x₁，x₂，…，x_n，都有f(λ₁x₁＋λ₂x₂＋…＋λ_nx_n)＞λ₁f(x₁)＋λ₂f(x₂)＋…＋λ_nf(x_n)．

A是定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合：

①对任意的x∈[1，2]，都有φ(2x)∈(1，2)；

②存在常数L(0＜L＜1)，使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ(2x₁)－φ(2x₂)|≤L|x₁－x₂|．

(Ⅰ)设φ(2x)＝，x∈[2，4]，证明：φ(x)∈A

(Ⅱ)设φ(x)∈A，如果存在x₀∈(1，2)，使得x₀＝φ(2x₀)，那么这样的x₀是唯一的；

(Ⅲ)设φ(x)∈A，任取x₁∈(1，2)，令x_n－1＝φ(2x_n)，n＝1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式|x_k+p－x_k|≤|x₂－x₁|