19．设a>0.求函数． [命题意图] 本题主要考查函数的求导.导数在研究函数性质中的应用和不等式的求解等基本知识.以及运算能力． 本题给出的函数比较简单.为幂函数与对数函数ln(x+a)之差.让考生求这个函数的单调区间．直接应用单调函数的定义.难以进行有效的讨论.宜借助求导的方法求解．以此可以考查函数求导的技能.以及讨论导数正负性的方法． 所设的函数含有参数a.讨论函数单调区间时.应顾及a值的影响．这样.也就考查了分类讨论的数学方法.强化了试题对能力的考查功能． [解题思路] 可从求函数的导数入手.再讨论导数的正负性变化区间.便可确定函数的单调区间．由于所得导数含有x的根式和分式.在讨论导数正负性时.将遇到解含根式和分式的方程或不等式.须正确运用同解变换的思想方法和技能． (i)当a>1时.方程①无解.即f′在区间上正负性不变.故由 知f′上恒成立.所以的单调区间.f上是增函数． (ii)a=1时.方程①有惟一解x=1． 知当0<x<1时.恒有f′(x)>0,由f′ 知当x>1时.恒有f′(x)>0． 所以.当a=1时.函数f上是增函数.在区间上也是增函数．又f(x)在x=1连续.所以的单调区间.f上是增函数． (iii)当0<a<1时.方程①有两个根: 这时,由于 可知:当0<x<或 所以.当0<a<1时.都是单调区间.f(x)在这两个区间上都是增函数,也是单调区间.f(x)在这个区间上是减函数． (i)当a>1时,2a-4>-2,由x>0知 (ii)当a=1时, 当且仅当x=1时取等号．即当0<x<1或x>1时.f′或内都单调递增．又f(x)在x=1处连续.因此.f内单调递增． 因此.函数f(x)在区间内单调递增.在区间内也单调递增． 令f′(x)<0.即 因此.函数.f(x)在区间内单调递减． 【
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