30．本小题主要考查平面向量的概念.直线方程的求法.椭圆的方程和性质等基础知识.以及轨迹的求法与应用.曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分. (1)解法一:直线l过点M(0.1)设其斜率为k.则l的方程为 记.由题设可得点A.B的坐标.是方程组 ② ① 的解.----------2分 将①代入②并化简得..所以 于是 ----6分 设点P的坐标为则 消去参数k得 ③ 当k不存在时.A.B中点为坐标原点(0.0).也满足方程③.所以点P的轨迹方 程为------8分 解法二:设点P的坐标为.因.在椭圆上.所以 ④ ⑤ ④-⑤得.所以 当时.有 ⑥ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧ 当时.点A.B的坐标为.这时点P的坐标为(0.0) 也满足⑧.所以点P的轨迹方程为 ------8分 (2)解:由点P的轨迹方程知所以 --10分 故当.取得最小值.最小值为时.取得最大值. 最大值为--------12分 注:若将代入的表达式求解.可参照上述标准给分. 【
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