(1)解:作出椭圆的左准线l.作MN⊥l交l于点N. 设.椭圆的离心率是e.椭圆的半焦距是c. 根据椭圆的定义得:.所以 .同理可得: 所以 由||MF1|·||MF2|的最小值为得: .解得----4分 [注:若学生没有证明|MF1|= 而直接使用此结论.则(Ⅰ)中扣去1分] (Ⅱ)解:依题意得双曲线C2的离心率为2. 设C2的方程是假设存在适合题意的常 数.①先来考查特殊情形下的值: PA⊥x轴时.将x=2c代入双曲线方程.解得|y|=3c. 因为|AF1|=3c.所以△PAF1是等腰直角三角形. ∠PAF1=90°.∠PF1A=45°.此时=2---7分 ②以下证明当PA与x轴不垂直时.∠PAF1=2∠PF1A恒成立. 设.由于点P在第一象限内.所以直线PF1斜率存在., 因为PA与x轴不垂直.所以直线PA斜率也存在.. 因为所以.将其代入上式并化简得: 因为∠PAF1+∠PAx=180°. 所以即tan2∠PF1A=tg∠PAF1.------12分 因为∠∠所以∠PAF1. 2∠PF1A所以∠PAF1=2∠PF1A恒成立. 综合①.②得:存在常数.使得对位于双曲线C2在第一象限内的任意一点p. ∠PAF1=2∠PF1A恒成立.--------14分 [注:②中如果学生认为∠PAF1.2∠PF1A本题不扣分] 【
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