题目列表(包括答案和解析)
已知函数 R).
(Ⅰ)若 ,求曲线
在点
处的的切线方程;
(Ⅱ)若 对任意
恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
第一问中,利用当时,
.
因为切点为(
),
则
,
所以在点()处的曲线的切线方程为:
第二问中,由题意得,即
即可。
Ⅰ)当时,
.
,
因为切点为(),
则
,
所以在点()处的曲线的切线方程为:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由题意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)
,
因为,所以
恒成立,
故在
上单调递增,
……12分
要使恒成立,则
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)当时,
在
上恒成立,
故在
上单调递增,
即
.
……10分
(2)当时,令
,对称轴
,
则在
上单调递增,又
① 当,即
时,
在
上恒成立,
所以在
单调递增,
即
,不合题意,舍去
②当时,
,
不合题意,舍去 14分
综上所述:
(本小题满分12分)
阅读下面内容,思考后做两道小题。
在一节数学课上,老师给出一道题,让同学们先解,题目是这样的:
已知函数f(x)=kx+b,1≤f(1)≤3,-1≤f(-1)≤1,求Z=f(2)的取值范围。
题目给出后,同学们马上投入紧张的解答中,结果很快出来了,大家解出的结果有很多个,下面是其中甲、乙两个同学的解法:
甲同学的解法:由f(1)=k+b,f(-1)=-k+b得
①+②得:0≤2b≤4,即0≤b≤2 ③
② ×(-1)+①得:-1≤k-b≤1 ④
④+②得:0≤2k≤4 ⑤
③+⑤得:0≤2k+b≤6。
又∵f(2)=2k+b
∴0≤f(2)≤6,0≤Z≤6
乙同学的解法是:由f(1)=k+b,f(-1)=-k+b得
①+②得:0≤2b≤4,即:0≤b≤2 ③
①-②得:2≤2k≤2,即:1≤k≤1
∴k=1,
∵f(2)=2k+b=1+b
由③得:1≤f(2)≤3
∴:1≤Z≤3
(Ⅰ)如果课堂上老师让你对甲、乙两同学的解法给以评价,你如何评价?
(Ⅱ)请你利用线性规划方面的知识,再写出一种解法。
k |
x+a |
x+b |
x+c |
1 |
3 |
1 |
2 |
kx |
ax+1 |
bx+1 |
cx+1 |
对于问题“已知关于x的不等式的解集为(-1,2),解关于x的不等式
”,给出如下一种解法:
解:由的解集为(-1,2)得
的解为
,即关于x的不等式
的解集为(-2,1).
参考上述解法,若关于x的不等式的解集为
,则关于x的不等式
的解集为
※ .
已知向量(
),向量
,
,
且.
(Ⅰ)求向量;
(Ⅱ)若
,
,求
.
【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算,以及两角和差的三角函数关系式的运用。
(1)问中∵,∴
,…………………1分
∵,得到三角关系是
,结合
,解得。
(2)由,解得
,
,结合二倍角公式
,和
,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。
解析一:(Ⅰ)∵,∴
,…………1分
∵,∴
,即
① …………2分
又 ② 由①②联立方程解得,
,
5分
∴ ……………6分
(Ⅱ)∵即
,
, …………7分
∴,
………8分
又∵, ………9分
, ……10分
∴.
解法二: (Ⅰ),…………………………………1分
又,∴
,即
,①……2分
又 ②
将①代入②中,可得 ③ …………………4分
将③代入①中,得……………………………………5分
∴ …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵,
,∴
,且
……7分
∴,从而
. …………………8分
由(Ⅰ)知,
; ………………9分
∴. ………………………………10分
又∵,∴
,
又
,∴
……11分
综上可得 ………………………………12分
方法二∵,
,∴
,且
…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知,
.
…………9分
∴
……………10分
∵,且注意到
,
∴,又
,∴
………………………11分
综上可得 …………………12分
(若用,又∵
∴
,
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