6．(1)将条件变形.得. 于是.有 ---- . 将这n-1个不等式叠加.得 故 (2)注意到.于是由(1)得 . 从而.有 第三讲 三角函数 陕西特级教师 安振平 l 高考风向标 主要考查三角函数的定义.三角函数的符号.同角三角函数关系式及诱导公式.两角和与差的三角函数.二倍角的正弦.余弦.正切公式.三角函数的图象与性质.包括周期性.奇偶性.单调性.和最值性． l 典型题选讲 例1 (1)已知: (2)已知:的值. 点评 三角问题的解决.变形是多途径的．例如:题1也可以逆向考虑.事实上 例2 已知电流I与时间t的关系式为． (1)右图是(ω＞0.) 在一个周期内的图象.根据图中数据求 的解析式, (2)如果t在任意一段秒的时间内.电流都能取得最大值和最小值.那么ω的最小正整数值是多少? 讲解 本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识.考查运算能力和逻辑推理能力． (1)由图可知 A＝300． 设t1＝-.t2＝. 则周期T＝2(t2-t1)＝2(+)＝． ∴ ω＝＝150π． 又当t＝时.I＝0.即sin(150π·+)＝0. 而. ∴ ＝． 故所求的解析式为． (2)依题意.周期T≤.即≤.(ω>0) ∴ ω≥300π＞942.又ω∈N*. 故最小正整数ω＝943． 点评 本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中.读图.识图.用图是形数结合的有效途径． 例3 已知函数. (1)求实数a.b的值, (2)求函数的最大值及取得最大值时x的值. (1)函数 讲解 学会翻译.逐步展开解题思维． 时.函数f(x)的最大值为12. 点评 结论是历年高考命题的热点之一． 例4 已知tan2θ＝-2.π＜2θ＜2π.求. 讲解 解题目标中含有角.可向角转化.以便出现,而条件中的可向转化. 这样.就消除了解题目标与解题条件之间中的差异．事实上 原式＝ ＝ ＝ . 由 tan2θ＝. 解得 tanθ＝-或tanθ＝. ∵π＜2θ＜2π.∴＜θ＜π. ∴tanθ＝- . ∴原式＝＝3+2． 点评 差异分析.有时需要从条件和解题目标两个方向同时进行分析.这种相向而行的思维方式.可以快速联结解题的思维线路. 例5 在中....求的值和的面积． 讲解 本题是2004年北京高考试题.下面给出两种解法． 法一 先解三角方程.求出角A的值． 又, . 法二 由计算它的对偶关系式的值． ① , . ② ① + ② 得 . ① - ② 得 . 从而 ．以下解法略去． 点评 本小题主要考查三角恒等变形.三角形面积公式等基本知识.着重数学考查运算能力.是一道三角的基础试题．两种解法比较起来.你认为哪一种解法比较简单呢? 例6 设函数f(x)=a·b.其中向量a=(2cosx.1).b=(cosx. sin2x).x∈R. (1)若f(x)=1-且x∈[-.].求x, (2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m.n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象.求实数m.n的值. 讲解 (1)依题设可知.函数的解析式为 f(x)=a·b＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+). 由1+2sin(2x+)=1-.可得三角方程 sin(2 x +)=-． ∵-≤x≤. ∴-≤2x+≤. ∴2x+=-.即x=-． (2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m.n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象.即函数y=f(x)的图象. 由(1)得 f(x)=2sin2(x+)+1. ∵|m|<.∴. 点评 本小题是2004年福建高考试题.主要考查平面向量的概念和计算.三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能.着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 例7 已知向量m=(1,1).向量n与向量m夹角为.且m·n=-1. (1)求向量n, (2)若向量n与向量q=(1.0)的夹角为.向量p=.其中A.C为△ABC的内角.且A.B.C依次成等差数列．求|n+p|的取值范围． 讲解 (1)设① 与夹角为.有·=||·||·.② 由①②解得 (2)由垂直知. 由2B=A+C 知B= .A+C= 若 点评 本题的特色是将向量与三角综合.体现了知识的交汇性．解题后.请你反思:解题思维的入手点.解题思维的障碍点.解题思维的开窍点.只有这样的反思训练.请相信.你就会慢慢成为解题高手的． 例8 如图.某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地.△ABC外的地方种草.△ABC的内接正方形PQRS为一水池.其余的地方种花.若BC=a.∠ABC=.设△ABC的面积为S1.正方形的面积为S2． (1)用a.表示S1和S2, (2)当a固定.变化时.求取最小值时的角． 讲解 (1)∵ ∴ 设正方形边长为x. 则BQ= (2)当固定.变化时. 令 令 任取.且. ． . 是减函数． 取最小值.此时 点评 三角函数有着广泛的应用.本题就是一个典型的范例．通过引入角度.将图形的语言转化为三角的符号语言.再通过局部的换元.又将问题转化为我们熟知的函数．这些解题思维的拐点.你能否很快的想到呢? l 针对性演练 【
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