2.3勾股定理的应用举例同步练习

第1题. 上午8:00，甲船从港口出发，以20海里/时的速度向东行驶，半个小时后，乙船也由同一港口出发，以相同的速度向南航行，上午10:00时，甲、乙两船相距多少远？

答案：解：如图所示．

　　 设甲、乙两船在10:00时，到达两点．

　　 海里，

　　 海里，

　　 根据勾股定理，在中

　　 ．

　　 海里．

答：上午10:00时，甲、乙两船相距50海里．

第2题. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一首有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．

答案：解：设水深为尺，则芦苇长为尺，

　　 根据勾股定理得

　　 芦苇的长度(尺)

答：水池深12尺，芦苇长13尺．

第3题. 甲乙两人从同一地点出发，甲以6m/s的速度向北走，乙以8m/s的速度向西跑，1min后，甲、乙相距离有多远？

答案：解：如图所示，设一分钟后，甲、乙分别走到两点，

，

在中，

根据勾股定理得

m．

答：1min后，甲、乙两人相距600m．

第4题. 如图所示，长方形公园里要建一条小石子路，要求连结两个景点，则石子路最短要多长？

答案：解：连结，根据勾股定理，在中，

　　 m．

　　 两点之间线段最短，

　　 最短路径为．

　　 答：石子路最短1000m．

第5题. 如图所示，一棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成个小正方形，其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点沿表面爬行至右侧点，最少要花几分钟？

答案：解：如图所示，分两种情况：

(1)将正方体的正前、右侧两面展开，使在同一平面内，

则到的最短路径是线段．

如图(a)所示，．根据勾股定理，

得

5cm；

(2)将正方体的正前，上底两面展开，使在同一平面内，

则到的最短路径为线段

如图(b)所示，．

根据勾股定理，得．

比较上述两种情况(a)中为最短路径，

s，

答：它至少要爬2.5s．

第6题. 如图所示，一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看做圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，问：丝带共有多长？

答案：解：如图所示，先分析一圈的情况，右侧为展开图．

由图可知：一圈的长度为长方形的对角线．

长方形的长为圆柱的底面周长．

，

根据勾股定理，

，

答：彩带共需1.5m．

第7题. 某船向正东方向航行，在处望见某岛在北偏东，该船前进6海里到达点，则望见岛在北偏东，已知在岛周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁的危险？并说明理由．

答案：解：由图知：为直角三角形，

　　 且，

　　 为直角三角形，

　　 且，

　　 ，

　　 即，

　　 ．

　　 海里．

　　 在中，

　　 ．

　　 3海里．

　　 根据勾股定理，得

　　 ．

　　 海里．

　　 若船继续向东航行，有触礁的危险．

第8题. 如图，是等腰直角三角形，是斜边的中点，分别是边上的点，且，若．

求线段的长．

答案：解：连结

　　 ，

　　 又为的中线，

　　 ．

　　 且．

　　 ，

　　 又，

　　 同理：．

　　 在中，根据勾股定理得

第9题. 一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？

答案：解：如图所示，根据题意，

　　 ．

　　 设，则，

　　 根据勾股定理

　　 答:桅杆折断后的两部分分别为12，13．

第10题. 中，，中线，则　　．

答案：13

第11题. 有一圆柱形罐，如图，要以点环绕油罐建梯子，正好到点的正上方点，则梯子最短需　　　米．(油罐周长12m，高m)

答案：13

第12题. 如图，北部湾海面有一艘解放军军舰正在基地的正东方向且距地50海里的处训练，突然接到基地命令，要该舰往岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治，已知岛在基地的北偏东方向且距基地海里，又在处的北偏西的方向上，军舰从处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？

答案：解：由已知可知

　　 小时．

答：需3.5小时把患者送到．

第13题. 如图，有一个圆柱形油桶，它的高等于80分米，底面半径为25分米，在圆柱下底面圆周的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点在同侧的点的食物，但两点间有障碍，不能直接到达，蚂蚁只能沿桶壁爬行，则蚂蚁需爬行的最短路程是多少？(取整数3)

答案：解：圆柱侧面展开为矩形，长为，宽为80，

最短距离为矩形对角线长，对角线长的平方，

最短距离为170分米．

第14题. 某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？

答案：解：设旗杆高为，则绳长为，

　　 根据勾股定理，，

　　 ，答：旗杆高为12米，绳长为13米．

第15题. 已知：如图，观察图形回答下面问题：

(1)此图形的名称为　　　，

(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿处剪开，铺在桌面上，研究一下它的侧面展开是一个　　　形．

(3)如果点是的中点，在处有蜗牛想吃到的食品，恰好在处有一只蜗牛，但它又不能直接爬到处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形吗？

(4)圆锥的母线长为10cm，侧面展开图的夹角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．

答案：解：(1)圆锥　 (2)扇形　 (3)．

第16题. 四边形中，各边长分别依次为，且，则四边形的面积是　　　．

答案：36

第17题. 等腰的底边上有一点，，求等腰三角形腰长及的度数．

答案：解：过作于，则有，

　　 ，，

　　 为等边三角形，

　　 ．

第18题. 在同一个班上学的小明、小伟、小红三位同学住在、、三个住宅区，如图所示，、、三点共线，且米，米，他们

打算合租一辆接送车去上学，由于车位紧张，准备在此之间只设一个停靠点，

为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点的位置应该设在　　　．

答案：点处

第19题. 如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的(长的四等分点)处有一只壁虎、(宽的三等分点)处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为　　m．

答案：或

21、下列图形中面积最大是(　)

A．边长为5的正方形　　　　　　　　　　　　　 B．半径为的圆　

C．边长分别为6，8，10的直角三角形　　　　 　D．边长为7的正三角形

20、如果的三边长满足关系式，则的三边分别为　　　，　　　，　　　，的形状是　　　　．

19、 如图所示，铁路上两站(视为直线上两点)．相距25km，为两村庄(视为两个点)，于于，已知km，km，现要在铁路上建设一个土特产收购站，使得两村庄到站的距离相等，则站应建在距站多远处？

18、 已知：如图，四边形中，，与相交于，且，则之间一定有关系式：，请说明理由．

17、已知三边满足，请你判断的形状，并说明理由．

16、有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是　　　．

15、将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形(　)

A．仍是直角三角形　　　　　　　 B．可能是锐角三角形

C．可能是钝角三角形　　　　　　 D．不可能是直角三角形

14、下列三角形中，不是直角三角形的是(　)

A．三角形三边分别是9，40，41；

B．三角形三内角之比为；

C．三角形三内角中有两个互余；

D．三角形三边之比为．

13、是中边上一点，若，那么下列各式中正确的是(　)

A．

B．

C．

D．