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14、图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”，则f（n）=

2n²-2n+1

．（答案用数字或n的解析式表示）

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一、选择题（每小题5分，共12小题）

    BADAC    ABBCB    CD

二、填空题（每小题4分，共4小题）

13．0

14．n+(n+1)+…+(3n－2)=(2n－1)²

15．256+64π

16．①③

三、解答题

   （I）∵(2a－c)cosB=bcosC，

∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分

即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB

=sin(B+C)

∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分

∵0<A<π,∴sinA≠0.

∴cosB=.…………………………………………………………………5分

∵0<B<π，∴B=.…………………………………………………………6分

  （II）=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分

=－2sin²A+4ksinA+1，A∈（0，）……………………………………9分

设sinA=t，则t∈.

则=－2t²+4kt+1=－2(t－k)²+1+2k²,t∈.…………………………10分

∵k>1，∴t=1时，取最大值.

依题意得，－2+4k+1=5，∴k=.………………………………………………12分

（18）（I）证明：

          连接B₁C，与BC₁相交于O，连接OD

          ∵BCC₁B₁是矩形，

∴O是B₁C的中点.

又D是AC的中点，

∴OD//AB₁.………………………………………………2分

∵AB_­1面BDC_­1，OD面BDC₁，

∴AB₁//面BDC₁.…………………………………………4分

   （II）解：如力，建立空间直角坐标系，则

         C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），

         D（1，3，0）……………………5分

即.…………6分

易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.

.…………………………8分

∴二面角C₁―BD―C的余弦值为.………………………………9分

   （III）假设侧棱AA₁上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁.

         则

          ∴方程组无解.

∴假设不成立.……………………………………………………11分

∴侧棱AA₁上不存在点P，使CP⊥面BDC₁.…………………12分

19．（I）解：设答对题的个数为y，得分为ξ,y=0，1，2，4

           ∴ξ=0，2，4，8…………………………………………………………1分

           ……………………………………………………3分

           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

           ………………………………………………9分

          则ξ的分布列为

ξ

0

2

4

8

P

   （II）Eξ=0×+2×+4×+8×=2

        答：该人得分的期望为2分………………………………12分

20．解：

   （I）由题意，令y=0，x<0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0时，f(x)>1.

        ∴1－f(0)=0. f(0)=1.…………………………………………………………2分

        适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=()^x.………………………………4分

   （II）①由递推关系知f(a_n+1)?f(－2－a_n)=1，即f(a_n+1－2－a_n)=f(0).

         ∵f(x)的R上单调，∴a_n+1－a_n=2，（n∈N^*），…………………………6分

         又a₁=1，故a_n=2n－1.……………………………………………………7分

         ②b_n=,S_n=b₁+b₂+…+b_n=+()³+…+()^2n－1

         欲比较S_n与的大小，只需比较4ⁿ与2n+1的大小.

         由=1，2，3代入可知4ⁿ>2n+1，猜想4ⁿ>2n+1.……………………10分

         下用数学归纳法证明

        （i）当n=1时，4¹>2×1+1成立

        （ii）假设当n=k时命题成立，即4^k>2k+1

当n=k+1时，4^k+1=4×4^k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，

说明当n=k+1时命题也成立.

由（i）（ii）可知，4ⁿ>2n+1 对于n∈N^*都成立.

故S_n>.………………………………………………………………12分

注：证明4ⁿ>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，

如：4ⁿ=(1+3)ⁿ=1+

21．解：（I）定圆B的圆心坐标B（－，0），半径r=6，

因为动圆P与定圆B内切，所以|PA|+|PB|=6.

所以动圆圆心P的轨迹是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆.

设椭圆的方程为

则2a=6，a=3，c=

∴b²=a²－c²=4.

∴椭圆的方程为.……………………4分

   （II）设M(x₁，y₁)，N（x₂，y₂），

则由

（1）当λ=1时，M与N重合，，满足条件。

（2）当.

     综合可得λ的取值范围是[，5].………………………………12分

22．解：

   （I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

        即…………………………………………2分

        解得a=1，b=0.

        ∴f(x)=x³－3x.……………………………………………………4分

   （II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，

f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2……………………………………6分

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，

都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x) －f_min(x)|

|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x)－f_min(x)|=2－(－2)=4………………………………8分

   （III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

         ∵曲线方程为y=x³－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为

，

整理得.

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程=0有三个实根.……………………10分

设g(x­₀)= ，则g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

∴函数g(x₀)= 的极值点为x₀=0，x₀=1………………12分

∴关于x₀方程=0有三个实根的充要条件是

，解得－3<m<－2.

故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.……………………14分