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    已知且.函数和的图象只能是 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    已知a>0且a≠1，则两函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)

     

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    已知a>0且a≠1，则两函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是 (　　)

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    已知a>0且a≠1，则两函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是      (　　)

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    一、选择题

    DDDCC         CDAAB

    二、填空题

    11、           12、        13、     14、17    0     15、②③

    三、解答题

    16、⑴

             

          

     

    17、（1），其定义域为.

    令得.……………………………………………………2′

    当时，当时，故当且仅当时，.   6′

    （2）

    由（1）知≤,     ≥…………………………9′

    又

    故…………………………………………12′′18、（1）符合二项分布

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    ……6′

    （2）可取15，16，18.

    *表示胜5场负1场，；………………………………7′

    表示胜5场平1场，；………………………………8′

    *表示6场全胜，.……………………………………………9′

    ∴.………………………………………………………………12（

    19、解：（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知、、………2′

    令                   的坐标为     

    ，              

                          而，

    是与的公垂线…………………………………………………………4′

    （2）令面的法向量而，

    令，则，即而面的法向量

    ……6′ ∴二面角的大小为.……8′

    （3）    面的法向量为     到面的距离为

         即到面的距离为.…………12′

    20、解：（1）假设存在，使，则，同理可得，以此类推有，这与矛盾。则不存在，使.……3分

    （2）∵当时，

    又，，则

    ∴与相反，而，则.以此类推有：

    ，；……7分

    (3)∵当时，，，则

    ∴　…9分

    ∴　（）……10分

    ∴.……12分

    21、解（1）设则     

    ①②          

    ①－②得

       ……………………2′

    直线的方程是  整理得………………4′

    （2）联立解得

    设

    则且的方程为与联立消去，整理得

    ………………………………6′

     

              又

    …………………………………………8′

    （3）直线的方程为，代入，得即

    ………………………………………………10′

    三点共线，三点共线，且在抛物线的内部。

    令为、为

    故由可推得

    而

      同理可得：

    而得………………………………14′

     

     


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