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题目列表(包括答案和解析)

已知数学、英语的成绩分别有1、2、3、4、5五个档次,某班共有60人,在每个档次的人数如下表:

n m		数学
n m		5	4	3	2	1
英语	5	1	3	1	0	1
	4	1	0	7	5	1
	3	2	1	0	9	3
	2	1	b	6	0	a
	1	0	0	1	1	3

(1)求m=4,n=3的概率;

(2)求在m≥3的条件下,n=3的概率;

(3)若m=2与n=4是相互独立的,求a、b的值.

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下表是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分1至5五个档次.如：表中所示英语成绩为，数学成绩为的学生有5人.现设该班任意一位学生的英语成绩为m，数学成绩为n.
m
n
数学
5
4
3
2
1
英语
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
(1)求m = 4, n = 3的概率；
(2)求在m ≥3的条件下，n = 3的概率；
(3)求a + b 的值，并求m的数学期望；
(4) 若m= 2与n= 4是相互独立的，求a、b的值.

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（本题满分12分）下表是某班英语和数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分为1~5个档次。如：表中英语成绩是4分、数学成绩是2分的人数有5人。现设该班任意一位学生的英语成绩为m,数学成绩为n。
n
m
数学
5
4
3
2
1

英
语
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
（1）求m=4,n=3的概率；
（2）求在m≥3的条件下，n=3的概率；
（3）求a+b的值，并求m的数学期望；
（4）若m=2与n=4是相互独立的，求a，b的值。

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下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有50人，成绩分1—5五个档次.例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人.将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为x，数学成绩为y.设x、y为随机变量（注：没有相同姓名的学生）.
y
x
数学
5
4
3
2
1
英语
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
（1）x=1的概率为多少？x≥3且y=3的概率为多少？
（2）a+b等于多少？若y=4的概率为，试确定a,b的值.

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
A
C
B
A
C
B
C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中12题的第一个空3分，第二
个空2分.
11..     12..     13..     14..
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
15．解：(1) 根据题意，可知，，即. ……………………………2分
于是. ………………………………………………………………………………………………3分
将点代入，得
即.     …………………………………………………………5分
满足的最小正数. ……………………………………………………………7分
从而所求的函数解析式是.   ……………………………………………8分
(2)略.（振幅变换1分.周期变换、相位变换做对一个2分，全对3分）   ……12分
16．解：显然是随机变量.
(1).. …………………………………6分
    (2)由的期望为，得
，即. …………………9分
    根据表中数据，得，即. ………………………………………………11分
    联立解得. …………………………………………………………………………………………12分
17.解：(1)连结PQ，AQ.
∵△PCD为正三角形， ∴PQ⊥CD.
∵底面ABCD是∠ADC的菱形，∴AQ⊥CD.
∴CD⊥平面PAQ. ………………………………………………………………………………………………4分
∴PA⊥CD.
(2)设平面CDM交PA于N，∵CD//AB， ∴CD//平面PAB. ∴CD//MN.
由于M为PB的中点，∴N为PA的中点. 又PD=CD=AD，∴DN⊥PA.
    由(1)可知PA⊥CD， ∴PA⊥平面CDM. ………………………………8分
∴平面CDM⊥平面PAB.
∵PA⊥平面CDM，联接QN、QA，则ÐAQN为AQ与平面CDM所成的角. ……10分
在RtDPMA中，AM=PM=，
∴AP=，∴AN=，sinÐAQN==.
∴ÐAQN =45°.…………………………………………………14分
(2)另解（用空间向量解）：
由(1)可知PQ⊥CD，AQ⊥CD.
又由侧面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ.
因此可以如图建立空间直角坐标系. ………………………………………………………6分
易知P(0 , 0 ,)、A(, 0 , 0)、B(, 2 , 0)、
C（0 , 1 , 0）、D（0 , -1 , 0）. ………………………………………………………………………………7分
①由=（, 0 , -），=（0 , -2 , 0），得×=0.
∴PA⊥CD. ……………………………………………………………………………………………………………9分
②由M（, 1 , -），=（, 0 , -），得×=0.
∴PA⊥CM . ……………………………………………………………………10分
∴PA⊥平面CDM，即平面CDM⊥平面PAB.
从而就是平面CDM的法向量.………………………12分
设AQ与平面所成的角为q ，
则sinq =|cos<,>|=.
∴AQ与平面所成的角为45°.……………………14分
18．解：(1)根据题意，有解，
∴即. ……………………………………………………………………………3分
(2)若函数可以在和时取得极值，
则有两个解和，且满足.
易得. ………………………………………………………………………………………………6分
(3)由(2)，得. ………………………………………………………………7分
根据题意，()恒成立. ……………………………………………9分
∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），
且在端点处的值为.
∴函数（）的最大值为.   …………………………13分
所以. …………………………………………………………………………………………………………14分

19．解：(1)由于椭圆过点，故.…………………………………1分
,横坐标适合方程
解得(即)．………………………………………………………4分
即,横坐标是(即).……………………………………5分
(2)根据题意，可设抛物线方程为． …………………6分
∵，∴．………………………………………………………………7分
把和（等同于,坐标（，））代入式抛物线方
程，得. ……………………………………9分
令．……………………………………10分
则内有根（并且是单调递增函数），
∴………………………………………………………………13分
解得． …………………………………………………………………………………………14分
20．解：（1）∵f₁(0)=2，a₁==，f_n₊₁(0)= f₁［f_n(0)］=, …………2分
∴a_n₊₁==== -= -a_n. ……………4分
∴数列｛a_n｝是首项为,公比为-的等比数列，∴a_n=()ⁿ^-¹. ………………5分
（2）∵T₂_n= a₁+2a₂+3a₃+…+(2n-1)a₂_n_-₁+2na₂_n，
∴T₂_n= (-a₁)+(-)2a₂+(-)3a₃+…+(-)(2n-1)a₂_n_－₁+2na₂_n
= a₂+2a₃+…+(2n－1)a₂_n－na₂_n.
两式相减，得T₂_n= a₁+a₂+a₃+…+a₂_n+na₂_n. ……………………………………………………7分
∴T_2n=+n×(-)²ⁿ^-¹=-(-)²ⁿ+(-)²ⁿ^-¹.
T_2n=-(-)²ⁿ+(-)²ⁿ^-¹=(1-). ……………9分∴9T_2n=1-.
又Q_n=1-， ……………………………………………………………………………………………10分
当n=1时，2²ⁿ= 4,(2n+1)²=9,∴9T₂_n＜Q _n； ……………………………………………………11分
当n=2时，2²ⁿ=16,(2n+1)²=25,∴9T₂_n＜Q_n；   …………………………………………………12分
当n≥3时，，
∴9T₂_n＞Q _n. …………………………………………………………………………………………………………14分