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一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）以D为顶点，DD₁，DA，DC为相邻的三条棱，作
平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知点E在AA₁上移动
（1）当E点为AA₁的中点时，证明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一点P，使得平面BC₁E∥平面PAD₁，指出P点的位置
（Ⅲ）AE为何值时，二面角C-ED₁-D的大小为45°．

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如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中a_u（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且a_u∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．
对于A∈S（n，n），记r_i（A）为A的第i行各数之积，c_j（A）为A的第j列各数之积．令l（A=

n

i-1

ri（A）+

n

j-1

cj（A））．
（Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；
（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．

a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

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一、

1．D      2．C       3．B       4．D      5．C       6．A      7．D      8．B       9．C       10．C

11．D     12．A

【解析】

5．解：，则．

6．解：线性规划问题可先作出可行域（略），设，则，可知在点（1，1）处取最小值，．

7．解：，由条件知曲线在点（0，1）处的切线斜率为，则．

8．解：如图

正四棱锥中，取中点，连接、，易知就是侧面与底面所成角，面，则．

9．解：，展开式中含的项是，其系数是．

10．解：，其值域是．

11．解：，设离心率为，则，由知．

12．解：如图

       书馆

正四面体中，是中心，连，此四面体内切球与外接球具有共同球心，必在上，并且等于内切球半径，等于外接球半径．记面积为，则，从而

．

二、填空题

13．．

解：，与共线．

14．120种．

       解：按要求分类相加，共有种，或使用间接法：种．

15．．

       解：曲线 ①，化作标准形式为，表示椭圆，由于对称性，取焦点，过且倾角是135°的弦所在直线方程为：，即 ②，联立式①与式②消去得：

，由弦长公式得：．

16．充要条件①：底面是正三角形，顶点在底面的射影恰是底面的中心．

充要条件②：底面是正三角形，且三条侧棱长相等，

再如：底面是正三角形，且三个侧面与底面所成角相等；底面是正三角形，且三条侧棱与底面所成角相等；三条侧棱长相等，且三个侧面与底面所成角相等；三个侧面与底面所成角相等，三个侧面两两所成二面角相等．

三、解答题

17．解：设等差数列的公差为、、成等比数列，即，

，得或．

       时是常数列，，前项和

       时，的前项和

       或．

18．解：，则，，．

由正弦定理得：

       ，

       ，则

       ．

19．解：已知甲击中9环、10环的概率分别是0．3、0．2，则甲击中8环及其以下环数的概率是0．5；乙击中9环、10环的概率分别为0．4、0．3，则乙击中8环及其以下环数的概率是0．3；丙击中9环、10环的概率是0．6、0．4，0．6+0．4=1，则丙击中8环及其以下环数是不可能事件．

       （1）记在一轮比赛中“丙击中的环数不超过甲击中的环数”为事件，包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，则

       ．

       （2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件，“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件，则与相互独立，且，．

       所以在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为：

       ．

20．（1）证：已知是正三棱柱，取中点，中点，连，，则、、两两垂直，以、、为、、轴建立空间直角坐标系，又已知，

则．

，，则，又因与相交，故面．

（2）解：由（1）知，是面的一个法向量．

，设是面的一个法向量，则①，②，取，联立式①与式②解得，则．

              二面角是锐二面角，记其大小为．则

              ，

二面角的大小，亦可用传统方法解决（略）．

21．解：．

       （1）在处取得极值，则．

       （2），

              恒成立，必有解．

              易知函数图象（抛物线）对称轴方程是．

              在上是增函数，则时恒有，进而必有（数形结合）

              或或，

              故的取值范围是：．

22．解：（1）已知，求得线段的两个三等分点、，直线过时，，直线过时，，故或．

（2）已知是椭圆短轴端点和焦点，易求得椭圆方程是：，所在直线的方程为．

直线与椭圆相交于、，设，，由直线与线段相交（交点不与、重合）知．

点在椭圆上，则，解得到直线的距离

，

点到直线的距离；

设，则，由知，则：

，

当即时，取到最大值．

，0与中，0距更远，当且时，

，

．

∴四边形的面积，当时，．