题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为
，记
． （1）求随机变量
的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（2）求随机变量的分布列和数学期望．
（本小题满分12分）在我校值周活动中，甲、乙等五名值周生被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名值周生．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X为这五名值周生中参加A岗位服务的人数，求X的分布列及期望．
（本小题满分12分）
在一次体操选拔赛中，教练组设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有A和B两个动作．比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．
假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：
表1：甲系列 表2：乙系列
|
|
现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分．
（Ⅰ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；
（Ⅱ）若该运动员选择乙系列，求其成绩
的分布列及其数学期望
．
（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，经过点
且斜率为k的直线l与椭圆
有两个不同的交点P和Q.
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量
与
共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.
（本小题满分12分）
在
这
个自然数中，任取
个不同的数．
（1）求这个数中至少有
个是偶数的概率；
（2）设
为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为
，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是
）．求随机变量的分布列及其数学期望
。
1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B 9．C 10．B
11．A 12．D
【解析】
1．，所以选B．
2．的系数是，所以选B．
3．，所以选．
4．为钝角或，所以选C
5．，所以选C．
6．，所以选B．
7．，所以选D．
8．化为或，所以选B．
9．将左移个单位得，所以选A．
10．直线与椭圆有公共点，所以选B．
11．如图，设，则，
,
,从而，因此与底面所成角的正弦值等于．所以选A．
12．画可行域 可知符合条件的点是：共6个点，故，所以选D．
二、
13．185．．
14．60．．
15．，由，得
．
16．．如图：
如图，可设，又，
．
当面积最大时，．点到直线的距离为．
三、
17．（1）由三角函数的定义知：．
（2）
．
18．（1）设两年后出口额恰好达到危机前出口额的事件为，则．
（2）设两年后出口额超过危机前出口额的事件为，则．
19．（1）设与交于点．
从而，即，又，且
平面为正三角形，为的中点，
，且，因此，平面．
（2）平面，∴平面平面又，∴平面平面
设为的中点，连接，则，
平面，过点作，连接，则．
为二面角的平面角．
在中，．
又．
20．（1）
（2）
又
综上：．
21．（1）的解集为（1，3）
∴1和3是的两根且
由此得
时，时，
在处取得极小值
③
由式①、②、③联立得：
．
（2）
∴当时，在上单调递减，
当时，
当时，在[2，3]上单调递增，
22．（1）由得
∴椭圆的方程为：．
（2）由得，
又
设直线的方程为：
由得
由此得． ①
设与椭圆的交点为，则
由得
，整理得
，整理得
时，上式不成立， ②
由式①、②得
或
∴取值范围是．
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