已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值； 

（Ⅱ）求在区间上的最大值；

（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

【解析】第一问当时，，则。

依题意得：，即    解得

第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

（Ⅰ）当时，，则。

依题意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当时，，令得

当变化时，的变化情况如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又，，。∴在上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0；

当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

当时，即时，在区间上的最大值为。

（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设，则，显然

∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

若，则代入（*）式得：

即，而此方程无解，因此。此时，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，则

∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

 

下列命题中正确的是(   )

A、如果两条直线平行，则它们的斜率相等

B、如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数

C、如果两条直线的斜率之积为－1,则两条直线垂直

D、如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行与y轴

 

曲线恰有3个不同的交点，则

A．                  B．0                   C．                 D．不存在满足上述条件的a

设f:x→y=2^x是A→B的映射,已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足(   )

A.A={1,2,4,8,16}

B.A={0,1,2,log23}

C.A{0,1,2,log23}

D.不存在满足条件的集合

设f:x→y=2^x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（  ）

A.A={1，2，4，8，16}            B.A={0，1，2，log₂3}

C.A{0,1,2,log₂3}              D.不存在满足条件的集合