已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若.

（1）求的长；  （2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3

第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为

解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB

CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分

解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h)  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分

(3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小满足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

 

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx²-bx+a＞0”，有如下解法：
解：由ax²-bx+c＞0?a-b(

1

x

)+c(

1

x

)2＞0，令y=

1

x

，则y∈(

1

2

， 1)，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为(

1

2

， 1)．
参考上述解法，已知关于x的不等式

k

x+a

+

x+b

x+c

＜0的解集为（-2，-1）∪（2，3），求关于x的不等式

kx

ax-1

+

bx-1

cx-1

＜0的解集．

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx²-bx+a＞0有如下解法：由ax2-bx+c＞0?a-b(

1

x

)+c(

1

x

)2＞0，令y=

1

x

，则y∈(

1

2

，1)，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为(

1

2

，1)．参考上述解法，已知关于x的不等式

k

x+a

+

x+b

x+c

＜0的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式

kx

ax-1

+

bx-1

cx-1

＜0的解集．