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设a＞0为常数，动点M（x，y）（y≠0）分别与两定点F₁（-a，0），F₂（a，0）的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为双曲线，则λ的值为（ ）
A．2
B．-2
C．3
D．

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设动点P到两定点F₁(-1，0 )和F₂(1，0 ) 的距离分别为d₁和d₂，∠F₁PF₂=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ，
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）如图过点F₂的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，问：是否存在λ，使△F₁AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

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1．D   2．C   3．C   4．D   5．A  6．D   7．B   8．C   9．A   10．B

11.B     12．D

13．      14．       15．  11       16．

17．(本小题满分12分)

解：（1）

　　又

   （2）

　　又

18．(本小题满分12分)

解：（1）

    ∴

∴

（2）∵

∴

   最小正周期为

由

得

故的单调递增区间为

19．（本小题满分12分）

  解：（1）成等差数列，

  （2）

20、(本小题满分12分)

（I）解：由得

       ，

   （II）由，

       ∴数列{}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，

       当n=1时a₁=1满足

   （III）①

       ，②

       ①－②得，

       则.

21、(本小题满分12分) （1）证明：

　　（即的对称轴）

   （2）由（1）.

　　经判断：极小

　　为0；　　

　　.

22、(本小题满分12分)

解：(1)由椭圆定义及已知条件知2a=|F₁B|+|F₂B|=10，∴a=5.

又c=4，∴b²=a²-c²=9.

故椭圆方程为+=1.                                                

(2)由点B在椭圆上，可知|F₂B|=|y_B|=，而椭圆的右准线方程为x=，离心率为，

由椭圆定义有|F₂A|=(-x₁)，|F₂C|=(-x₂).

依题意|F₂A|+|F₂C|=2|F₂B|.

则(-x₁)+(-x₂)=2×.

∴x₁+x₂=8.

设弦AC的中点为P(x₀，y₀)，则x₀==4,

即弦AC的中点的横坐标为4.                                              

(3)由A(x₁,y₁)，C(x₂,y₂)在椭圆上得9x₁²+25y₁²=9×25，9x₂²+25y₂²=9×25.

两式相减整理得9()+25()()=0(x₁≠x₂).

将=x₀=4，=y₀，=-(k≠0)代入得

9×4+25y₀(-)=0,即k=y₀.

由于P(4,y₀)在弦AC的垂直平分线上，

∴y₀=4k+m,于是m=y₀-4k=y₀-y₀=-y₀.

而-<y₀<，∴-<m<.