在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列，求

PA

•

PB

的范围；
（3）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断

QM

•

QN

×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量

OA

+

OB

与

PQ

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，已知向量

a

=(x，y-4)，

b

=(kx，y+4)（k∈R），

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为T．
（1）求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当k=1时，已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部
的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S_△OEQ=2？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M （1，-3）、N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y²=4x交于A、B两点．
（1）求证：

OA

⊥

OB

；
（2）在x轴上是否存在一点P （m，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2

2

的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆

x2

a2

+

y2

9

=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．