在中，已知 ，面积，

（1）求的三边的长；

（2）设是（含边界）内的一点，到三边的距离分别是

①写出所满足的等量关系；

②利用线性规划相关知识求出的取值范围.

【解析】第一问中利用设中角所对边分别为

由得

    

又由得即 

又由得即 

又       又得

即的三边长

第二问中，①得

故

②

令依题意有

作图，然后结合区域得到最值。

 

在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知成等差数列，成等比数列

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的值.

【解析】第一问中利用依题意且，故

第二问中，由题意又由余弦定理知

，得到，所以，从而得到结论。

（1）依题意且，故……………………6分

（2）由题意又由余弦定理知

…………………………9分

即   故

           代入得

 

已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 设 (N^*).

①证明： ；

② 求证：.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，

所以利用放缩法，从此得到结论。

解：(Ⅰ)当时，由得.  ……2分

若存在由得，

从而有，与矛盾，所以.

从而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①证明：

证法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

证法二：，下同证法一.           ……10分

证法三：（利用对偶式）设，，

则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即

                    ………10分

证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;

   ②假设时,命题成立,即,

   则当时,

    即

即

故当时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

从而.

也即

 

已知函数（为实数）.

（Ⅰ）当时，求的最小值；

（Ⅱ）若在上是单调函数，求的取值范围.

【解析】第一问中由题意可知：. ∵ ∴  ∴.

当时，； 当时，. 故.

第二问.

当时，,在上有，递增，符合题意；  

令，则，∴或在上恒成立.转化后解决最值即可。

解：(Ⅰ) 由题意可知：. ∵ ∴  ∴.

当时，； 当时，. 故.

(Ⅱ) .

当时，,在上有，递增，符合题意；  

令，则，∴或在上恒成立.∵二次函数的对称轴为，且

∴或或或

  或.   综上

 

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用的定义域是     

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是

第二问中，若对任意不等式恒成立，问题等价于只需研究最值即可。

解： （I）的定义域是     ．．．．．．1分

              ．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是     ．．．．．．．．4分

（II）若对任意不等式恒成立，

问题等价于，                   ．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

故也是最小值点，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

当b<1时，；

当时，；

当b>2时，；             ．．．．．．．．．．．．8分

问题等价于 ．．．．．．．．11分

解得b<1 或 或    即，所以实数b的取值范围是