如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：
（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A₁B₁C₁D₁的三边A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A₁B₁C₁D₁面积的最小值．

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如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：
（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A₁B₁C₁D₁的三边A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A₁B₁C₁D₁面积的最小值．

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一、选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

D

B

C

A

B

B

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分。

9．55     10．-3     11．    12．      13．1     14．2    15．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知向量,,,设.

（I）求函数的最小正周期。（II）,求的值域。

解：（I）因为

                 ………………………………………………………4分

            所以函数的最小正周期.……………………………………6分

（II）因为,

………………………………………………………………………8分

所以……………………………………………………………10分

所以。 ……………………………………………………………… 12分

17．（本小题满分12分）

(1); ………………………………………………………4分

         (2); …………………………………………………………… 8分

         (3)表面积S=48. ……………………………………………………………… 12分

18．（本小题满分14分）

解答(1)x=1+1+1=3  或者x=-1-1-1=-3---------（4分）

 (2)

i

I=3

I=5

P

(0.5³)+ (0.5³)=0.25

1-0.25=0.75

Ei=3×0.25+5×0.75=4.5---------------（8分）

 (3)

ξ

ξ=1

ξ=3

P

18×0.5⁵=

6×0.5⁵+2×0.5³=

Eξ=1×+3×=----------（14分）

所有情况列表（仅供参考）

ξ

x

x

ξ=1

-1

-1-1+1-1+1

+1

-1-1+1-1+1

-1-1+1+1-1

-1-1+1+1-1

-1+1-1-1+1

-1+1-1-1+1

-1+1-1+1-1

-1+1-1+1-1

-1+1+1-1-1

-1+1+1-1-1

+1-1-1-1+1

+1-1-1-1+1

+1-1-1+1-1

+1-1-1+1-1

+1-1+1-1-1

+1-1+1-1-1

+1+1-1-1-1

+1+1-1-1-1

ξ=3

-3

+1-1-1-1-1

+3

-1+1+1+1+1

-1+1-1-1-1

+1-1+1+1+1

-1-1+1-1-1

+1+1-1+1+1

-1-1-1

+1+1+1

19、（本小题满分14分）

 解：（I）∵  ∴  ∴

∴ ………3分

∴ ………………………………4分

设  ∴

  ∴…………………………………………6分

∴……………………………………………………………………7分

（II）∵， ………………………………………………………8分 

∴…………………………………………………………………9分

     ∴…………………………………………………………10分

     由……………………12分

     …………………………………………………………14分

∴直线EF与抛物线相切。

20．（本小题满分14分）

解：（1）∵x，y

令为恒为零

∴

令

∴

显然

又函数为单调函数，可得为等差数列

∴  从而---------------------------------------------------------（6分）

   （2）∵

∴

是递增数列。--------------------------------（12分）

当时， ------------------------------------------------------（14分）

21、（本小题满分14分）

解：（1）由已知得函数，且

当又∵

当

∴函数的单调递增区间是

（2）设,

则  （5分）

当

又上连续，内是增函数。（7分）

  （8分）

  （9分）

    （10分）

（3）方法一由（1）知，设

将……12分

即

 （14分）

内是增函数。