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（本小题满分12分）

如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点.

(Ⅰ)求证:平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；[来源:学科网ZXXK]

（Ⅲ）求点到平面的距离.

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一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分）

ABDCC   DDBCB

二．填空题: （本大题共5小题, 每小题5分, 共25分）

11．1680     12.5     13.-1     14.     15.

三. 解答题: （本大题共6小题,  共75分）

16.（本小题满分12分）

解：（1）f(x)．．．．．．3分

……4分

令　

的单调区间为,k∈Z　　　．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由得．．．．．．7分

又为的内角 ．．．．．9分

　　　　　　．．．．．．．11分

　　．．．．．．12分

17.（本小题满分12分）

解：（1）．．．．．．．5分

．．．．．．．12分

18．（本题满分12分）

解法一：

（1）在棱取三等分点,使,则,由⊥平面,

得⊥平面。过点作于，连结，

则，为所求二面角的平面角.

在中，，

，

所以，二面角的余弦值为．．．．．．6分

（2）因为，所以点到平面的距离等于

到平面的距离，⊥平面，

过点作于，连结，则，

⊥平面，过点作于，

则，为所求距离，

所以，求点到平面的距离为．．．．．．12分

解法二：

证明：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、

B(4，0，0)、C(4，3，0), 由已知得，

得.

设平面QAC的法向量为，则，

即∴，令,得到平面QAC的一个法向量为

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.             

设二面角P―CD―B的大小为q，依题意可得．．．．．6分

（2）由（1）得

设平面PBD的法向量为，则，

即，∴令，得到平面QAC的一个为法向量为

 ∵，∴C到面PBD的距离为 ．．．．．12分

19. （本小题满分13分）

（1）解：当时,,………………………………①

则当, 时,………………②

①－②，得，即

∴，∴，当时，，则.

∴是以为首项,为公比的等比数列,∴,

∴………………………6分

（2）证明:.

∴, 则,…………③

…………………………④

③－④，得

∴.

当时,, ∴为递增数列,

 ∴.．．．．．．．13分

20．(本小题满分13分)

解法一：

(1)设椭圆方程为(a>b>0)，由已知c=1，

又2a= .

所以a=,b²=a²-c²=1，

椭圆C的方程是x²+ =1. ．．．．．．．4分

(2)若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1,

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)²+y²=．

由解得即两圆相切于点(1，０)．

因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)． 事实上，点T(1，０)就是所求的点．．．．．．．．6分

证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.记点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则

由=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂), =(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，

所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(1,0).故在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件．．．．．．．13分

解法二：

(1)由已知c=1，设椭圆C的方程是(a>1)．

因为点P在椭圆C上，所以,解得a²=2，所以椭圆C的方程是：.

．．．．．．．4分

(2)假设存在定点T(u，v)满足条件．同解法一得(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

记点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),则

又因为=(x₁-u, y₁-v), =(x₂-u, y₂-v),及y₁=k(x₁+),y₂=k(x₂+)．

所以=(x₁-u)(x₂-u)+(y₁-v)(y₂-v)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-u-kv)(x₁+x₂)+k²-v+u²+v²

=

当且仅当?=０恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T.

?=０恒成立等价于解得u=1,v=0.

此时，以AB为直径的圆恒过定点T(1，０)． 当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T(1，０)．所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件

．．．．．．．．13分

解法三：

(1)同解法一或解法二．．．．．．．．4分

(2)设坐标平面上存在一个定点T满足条件，根据直线过x轴上的定点S及椭圆的对称性，所求的点T如果存在，只能在x轴上，设T(t，O)．

 同解法一得=(x₁-t,y₁),=(x₂-t,y₂)

=(x₁-t)(x₂-t)+y₁y₂=(x₁-t)(x₂-t)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-t)(x₁+x₂)+k²+t²=

当且仅当?=O恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T.

?=O恒成立等价于解得t=1.所以当t=1时,以AB为直径的圆恒过点T.

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T(1，O)．

   所以在坐标平面上存在一个定点T(1，O)满足条件．．．．．．．．13分

21. (本小题满分13分)

解：（1）由题意               …………………………1分

当时，取得极值，  所以

      即      …………………3分

    此时当时，，当时，，

    是函数的最小值。          ………………………5分

（2）设，则  ，……8分

     设，

      ，令解得或

       列表如下：

__

0

+

函数在和上是增函数，在上是减函数。

当时，有极大值；当时,有极小值……10分

函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点

         或       ……13分