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    (II)求取得白球个数的数学期望.(文) 美国次贷危机引发2008年全球金融动荡.波及中国两大股市.甲.乙.丙三人打算趁目前股市低迷之际“抄底 .若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只(假定购买时每支股票的基本情况完全相同).(I)求甲.乙.丙三人恰好买到同一只股票的概率,(II)求甲.乙.丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    北京市房山区2011年高三上学期期末统练试卷（数学理）.doc
     

     （本小题共13分）

    某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．

    （I）求一次摸奖中一等奖的概率；

    （II）求一次摸奖得分的分布列和期望．

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    （本题满分12分）甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球，现在从甲、乙两袋中各取出2个球。（I）求取得的4个球均是白球的概率；（II）求取得白球个数的数学期望

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    （本题满分12分）甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球，现在从甲、乙两袋中各取出2个球。（I）求取得的4个球均是白球的概率；（II）求取得白球个数的数学期望

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    袋子中装有大小形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足m>n≥2且m+n≤l0（m，n∈N+），若从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率．

    (Ⅰ) 求m，n的值；

    (Ⅱ) 从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为，求的分布列与数学期望．

    【解析】第一问中利用,解得m=6，n=3.

    第二问中，的取值为0，1，2，3. P（=0）= ，     P（=1）=

    P（=2）= ，   P（=3）=

    得到分布列和期望值

    解：（I）据题意得到        解得m=6，n=3.

    （II）的取值为0，1，2，3.

    P（=0）= ，     P（=1）=

    P（=2）= ，   P（=3）=

    的分布列为

    所以E=2

     

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    袋中有互不相同的6个球．其中红球1个，黄球2个，蓝球2个，白球l个．从中随机地抽取4个球．
    （I）求抽取的4个球恰好有四种颜色的概率；
    （II）若取得的4球的颜色为四种时记l0分，三种时记8分，两种时记6分．记随机变量X为所得的分数，求X的分布列及数学期望．

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    一、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    C

    B

    C

    A

    B

    A

    C

    B 

    B

    理D 文B

    D

    理D 文C

    二．填空题

    13.（理）－1；(文) (－1,1)∪(2,+∞).         14. 90.

    15. ；                                     16. （理）x＋2y－3＝0； (文).

    三．解答题

    17.  解：（I）平移以后得

    ，又关于对称

    , *，

    当且仅当时取最大值，

    所以，取得最大值时的集合为.…………6分

    （II）的最小正周期为； ，

    ，在[上的值域为.…………12分

    18．解：（I）当ｎ∈Ｎ时有：＝２－３n，　　　∴＝２－３(n+1)，

    两式相减得：＝2－２－３　　　∴＝２＋３。　……３分

    ∴＋３＝２（＋３）。

    又＝＝２－３，　　　∴＝３，　＋３＝６≠０　　　……４分

    ∴数列｛＋３｝是首项6，公比为2的等比数列．从而ｃ＝３．　　……６分

     （II）由（1）知：+3＝，　　∴＝－３．　　　　………８分

    （Ⅲ）假设数列｛｝中是否存在三项,,,(r<s<t),它们可以构成等差数列,

    ∵<<,   ∴只能是＋＝２,

    ∴（－３）＋（－３）＝２（－３）

    即＋＝．∴１＋＝．　

    　∵ｒ＜ｓ＜ｔ，ｒ、ｓ、ｔ均为正整数，∴式左边为奇数右边为偶数，不可能成立．

    因此数列｛｝中不存在可以构成等差数列的三项．　　………12分

    19. （理）解：设从甲袋中取出个白球的事件为，从乙袋中取出个白球的事件为其中＝0，1，2，则，.

    （I）,,

    所以………………………..6分

    （II）分布列是

    0

    1

    2

    3

    4

    P

    ……………12分

    (文) 19．（I）三人恰好买到同一只股票的概率。  ……4分

    （II）解法一：三人中恰好有两个买到同一只股票的概率.……9分

    由（I）知，三人恰好买到同一只股票的概率为，所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率。  ……12分

     

    20.证明：（I）因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

    所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

    由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

    同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分

    文本框: （II）解法一:作EG//PA交AD于G，

    由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

    作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的

    平面角，设为.

    又PE : ED=2 : 1，所以

    从而    ……………7分

    解法二:以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、

    z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

    所以 设二面角E-AC-D的平面角为，并设平面EAC的一个法向量是

    得

    平面ACD的一个法向量取，……………7分

    （Ⅲ）解法一:设点F是棱PC上的点，如上述方法建立坐标系.

    则

           令  , 得

    解得      即 时，

    亦即，F是PC的中点时，、、共面.

    又  BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC…………12分

    (证法一) 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.  ①

    由   知E是MD的中点.

    连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

    所以  BM//OE.  ②

    由①、②知，平面BFM//平面AEC.

    又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

    (证法二)因为 

             

    所以  、、共面.又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC. ……12分

     

    21．解：（I）

    由，又 ，

     ，

                                     …… 4分

    （II）

    ，其过点 

                                         …… 7分

    （Ⅲ）由（2）知、，

    、、  

    得 

    ①当。

    ②当时，

    又、 

    即

    所以直线AB的方程为                       …… 12分

    22．（理科）（Ⅰ）由已知条件代入，数形结合易知y=lnx与y=的交点为A（α，），y=ex与y=的交点为B（β，）；由KAB= ―1，易知αβ=2009           …………4分

    （Ⅱ）设=，则

    ∵ ， ∴ 在区间（1，）上是减函数    又∵

    ∴ ，即，

    ∴在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方         …9分

    （Ⅲ）当时，左边=，右边=，不等式成立；

    当时，

                 =

    由已知，  ∴ ≥

    ∴ ≥．                  ………………………………14分

    （文科）解：（Ⅰ）当cosθ＝0时，函数f(x)＝4x3＋在R上递增，故无极值. …3分

    （Ⅱ）函数f、(x)＝12x2－6xcosθ，令f、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ

    由于0≤θ≤及（1）结论，f极小(x)＝f(cosθ)＝－cos3θ＋＞0，

    ∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范围是(，)。…7分

    （Ⅲ）f(x)在区间(2a－1，a)是增函数，则或，

    由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，

    即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，

    ∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[，1) …14分


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