如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，且受地理条件限制，|AN|长不超过8米，设AN=x．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）若|AN|∈[3，4）（单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

……12分

……14分

18．解：（1）由得   …………………2分

由，得， ……4分

，

函数的单调区间如下表：

（－¥，－）

－

（－，1）

1

（1，＋¥）

＋

0

－

0

＋

­

极大值

¯

极小值

­

所以函数的递增区间是（－¥,－）与（1,＋¥），递减区间是（－，1）。      …9分

（2），

当时，为极大值，而，则为最大值。

要使恒成立，只需；

解得或。                                        ……………………14分

19．解：（1）设所求直线的斜率为，其方程为，代入椭圆方程并化简得：

                …………………………2分

        设直线l与椭圆交于P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），则，

因为（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则，

∴，解得。         …………………………………………6分

由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0．               ………………………………………8分

（2）由（1）知，，     ………………………10分

       ……………14分

20. 解：设AN的长为x米（x >2）

             ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝         …………………………………………………………4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

         ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

         ∴         即AN长的取值范围是……………………………8分

（2）令y＝，则y′＝ ……………………………………… 10分

∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）

此时|AN|＝3米，|AM|＝米      ……………………………………………………… 14分