(13分)已知椭圆的长轴长为4，A,B,C是椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且，，如图.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA，是否总存在实数，使得？请说明理由.

（本题13分）已知数列{a_n}中，a₁ = t (t≠0，且t≠1)，a₂ = t²．且当x = t时，函数f (x) =(a_n a_{n 1})x² (a_{n + 1} a_n) x    (n≥2)取得极值．

    （1）求证：数列{a_{n + 1} a_n}是等比数列；

    （2）若b_n = a_n ln |a_n| (n∈N⁺)，求数列{b_n}的前n项的和S_n；

    （3）当t = 时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，请说明理由．

（本题13分）设椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且是的中点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由。

(本小题13分)

已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且，求取值范围；

（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N 三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．