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一次高中数学期末考试，选择题共有个，每个选择题给出了四个选项，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 评分标准规定：对于每个选择题，不选或多选或错选得分，选对得分．在这次考试的选择题部分，某考生比较熟悉其中的个题，该考生做对了这个题．其余个题，有一个题，因全然不理解题意，该考生在给出的四个选项中，随机选了一个；有一个题给出的四个选项，可判断有一个选项不符合题目要求，该考生在剩下的三个选项中，随机选了一个；还有两个题，每个题给出的四个选项，可判断有两个选项不符合题目要求，对于这两个题，该考生都是在剩下的两个选项中，随机选了一个选项．请你根据上述信息，解决下列问题：
（Ⅰ）在这次考试中，求该考生选择题部分得分的概率；
（Ⅱ）在这次考试中，设该考生选择题部分的得分为，求的数学期望．

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1．A      2．C       3．B       4，C       5．B       6．B       7．C      8．B       9．C       10．B 

11．B     12．D

1．，在复平面对应的点在第一象限．

3．当时，函数在上，恒成立即在上恒成立，可得

       当时，函数在上，恒成立

即在上恒成立

可得，对于任意恒成立

所以，综上得．

4．解法一：联立，得．

方程总有解，需恒成立

即恒成立，得恒成立

       ；又

的取值范围为．

解法二：数形结合，因为直线恒过定点（0，1），欲直线与椭圆总有交点，当且仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内，即

       又

       的取值范围为．

5．

6．（略）

7．展开式前二项的系数满足可解得，或（舍去）．从而可知有理项为．

8．，欲使为奇函数，须使，观察可知，、不符合要求，若，则，其在上是减函数，故B正确

当时，，其在上是增函数，不符合要求．

9．等价于

画图可知，故．

10．如图甲所示．设，点到直线的距离为

则由抛物线定义得，由点在双曲线上，及双曲线第一定义得

       ，又由双曲线第二定义得，解之得．

11．由巳知中奖20元的概率；中奖2元的概率，中奖5元的概率，由上面知娱乐中心收费为1560元．付出元，收入元，估计该中心收入480元．

12．设中点为，连．由已知得平面，作，交的延长线于，莲．则为所求，设，则，在

中可求出，则．

二、

13．．提示：可以用换元法，原不等式为也可以用数形结合法．

令，在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象，由图直观得解集．

14．12．提示：经判断，为截面圆的直径，再由巳知可求出球的半径为．

15．．提示：由于得

解得，又

所以，当时，取得最小值．

16．①②④

三、

17．懈：

，由正弦定理得，

又，

，化简得

为等边三角形．

说明；本题是向量和三角相结合的题目，既考查了向量的基本知识，又考查了三角的有关知识，三角形的形状既可由角确定。也可由边确定，因此既可从角入手，把边化为角；也可从边入手，把角化为边来判断三角形的形状．

18．解：（1）分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、 “客人游览丙景点”为事件、、．由已知、、相互独立，，客人游览的景点数的可能取值为0，1，2．3，相应地客人没有游览的景点的可能取值为3，2，1，0，的取值为1，3，且

              的分布列为          

1

3

0．76

0．24

              ．

（2）解法一：在上单凋递增，要使在上单调递增，

当且仅当，即．从而．

解法二：当时，在单调递增当时，在不单调递增，．

19．解：（1）因

故是公比为的等比数列，且

故．

（2）由得

注意到，可得，即

记数列的前项和为，则

两式相减得：

故

从而

．

20．解：（1）如图所示，连接因为平面，平面平面，平面平面所以；又为的中点，故为的中点

              底面

              为与底面所成的角

              在中，

              所以与底面所成的角为45°．

（2）解珐一；如图建立直角坐标系

       则，               

                                     设点的坐标为

              故          

              点的坐标为

              故．

       解法二：平面

              ，又

              平面

在正方形中，

．

21．解：（1）设点、的坐标分别为、点的坐标为

当时，设直线的斜率为

直线过点

的方程为

又已知                                               ①

                                                           ②

                                                        ③

                                                ④

∴式①一式②得

          ⑤

③式+④式得

                             ⑥

              ∴由式⑤、式⑥及

              得点的坐标满足方程

                                        ⑦

当时，不存在，此时平行于轴，因此的中点一定落在轴上，即的坐标为,显然点(，0）满足方程⑦

综上所述，点的坐标满足方程

设方程⑦所表示的曲线为

则由,

得

因为，又已知，

所以当时．，曲线与椭圆有且只有一个交点，

当时，，曲线与椭圆没有交点，因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内，故点的轨迹方程为

（2）由解得曲线与轴交于点（0，0），（0，）

由解得曲线与轴交于点（0，0）．（，0）

当，即点为原点时，（，0）、（0，）与（0．0）重合，曲线与坐标轴只有一个交点（0，0）．

当，且，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点（0，）与（0，0），同理，当且时，曲线与坐标轴有两个交点（，0）、（0，0）．

当，且时，即点不在椭圆外，且不在坐标轴上时，曲线与坐标轴有三个交点（，0）、（0，）与（0，0）．

22．解：（1）由

故直线的斜率为1．切点为，即（1，0），故的方程为：，

              ∴直线与的图象相切．等价于方程组，只有一解，

              即方程有两个相等实根．

              ．

       （2），由

              ，，当时，是增函数。即

的单调递增区间为（，0）．

（3）由（1）知，，令

       由

令，则

当变化时，的变化关系如下表：

（）

ㄊ

0

极大植ln2

（，0）

ㄋ

0

0

极小植

（0，1）

ㄊ

1

0

极大值ln2

（1，）

ㄋ

据此可知，当时，方程有三解

当，方程有四解

当或时，方程有两解

当时，方程无解．

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