16、某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：若该小组的平均成绩为8.7环，则成绩为9环的人数是

4

．

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某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2．
表1：

生产能力分组	[100，110]	[110，120]	[120，130]	[130，140]	[140，150]
人数	4	8	x	5	3

表2：

生产能力分组	[110，120]	[120，130]	[130，140]	[140，150]
人数	6	y	36	18

（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

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13、2009年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图甲是对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图，则其中酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上人数约为

9

，统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精含量做进一步的统计，则图乙输出的S值为

47

．（图甲中每组包括左端点，不包括右端点，图乙中数据m_i与f_i分别表示图甲中各组的组中值及频率）

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第Ⅰ部分（正卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

1、    2、    3、对任意使    4、2    5、

6、    7、    8、8      9、        10、40

11、    12、4       13、    14、

二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

15、解：（1）解：，

由，有，

解得。                                         ……7分

（2）解法一：       ……11分

             。  ……14分

  解法二：由（1），，得

∴   

∴                                        ……10分

于是，

               ……12分

代入得。            ……14分

16、证明：（1）∵

∴                                          ……4分

（2）令中点为，中点为，连结、

     ∵是的中位线

∴           ……6分   

又∵

∴

∴     ……8分

     ∴

     ∵为正

∴         ……10分

     ∴

     又∵，

 ∴四边形为平行四边形    ……12分

∴

∴    ……14分

17、解：（1）设米，，则

∵

∴

∴                                                ……2分

∴

∴                                            ……4分

∴

∴或                                            ……5分

（2）                   ……7分

     此时                                               ……10分

（3）∵

令，                       ……11分

∵

当时，

∴在上递增                       ……13分

∴

此时                                                ……14分

答：（1）或

    （2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米；

    （3）当的长度是6米时，矩形的面积最小，

最小面积为27平方米。                              ……15分

18、（1）解：①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。   ……2分

②若直线斜率存在，设直线为，即。

由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：，

解之得                                                  ……5分

所求直线方程是，                            ……6分

（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为

由得                       ……8分

又直线与垂直，由得 ……11分

∴

……13分

             为定值。

   故是定值，且为6。                            ……15分

19、解：（1）由题意得，                             ……2分

∴，    ∴    ……3分

∴，∴在是

单调增函数，                                             ……5分

∴对于恒成立。      ……6分

（2）方程；   ∴  ……7分

     ∵，∴方程为                      ……9分

     令，，

      ∵，当时，，∴在上为增函数；

     时，，  ∴在上为减函数，    ……12分

     当时，                     ……13分

，            

∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，

∴①当，即时，方程无解。

②当，即时，方程有一个根。

③当，即时，方程有两个根。    ……16分

第Ⅱ部分（附加卷）

一、必做题

21、解：（1）由得，

求得，，                                ……3分

(2)猜想                                            ……5分

证明：①当时，猜想成立。                                 ……6分

②设当时时，猜想成立，即，          ……7分

则当时，有,

所以当时猜想也成立                                  ……9分

③综合①②，猜想对任何都成立。                      ……10分

22、解：（1）“油罐引爆”的事件为事件A，其对立事件，则

∴ 答：油罐被引爆的概率为 ……5分

（2）射击次数的可能取值为2，3，4，5，

，，

，   ……7分

故的分布列为：

2

3

4

5

P

     ……10分

二、选做题（每题10分）（选两道）

1、证明：因为A，M，D，N四点其圆，

  所以，              ……3分

同理，有         ……5分

所以，   ……7分 

即，

所以  ……10分

2、解：（1）设A的一个特值为，由题意知：

  =0

，          ……2分

当时，由 ，得A属于特征值2的特征向量

当时，由