题目列表(包括答案和解析)
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在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是
，甲、丙二人都回答错的概率是
，乙、丙二人都回答对的概率是
．
（Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；
（Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X，求X的分布列和数学期望．
，甲、丙二人都回答错的概率是
，乙、丙二人都回答对的概率是
．| 1 |
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| 4 |
一、
1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．A
11．A 12．B
1．由题意知
，解得
．
2．由
得
，化得
，解得
．
3．
，又
．
4．设
到
的角为
的斜率
的斜率
，
则
，于是
．
5．由条件，解
即
得
，则
．
6．不等式组化得 
平面区域如图所示，阴影部分面积：
．
7．由已知得
，而
，则
是以3为公比的等比数列．
8．
即
，于是
，而
解得
．
9．函数可化为
，令
，
可得其对称中心为
，当
时得对称中心为
．
10．
．
11．由条件得：
，则
得
所以
．
12．沿球面距离运动路程最短，最短路程可以选
．
二、填空题
13．
，由
与
垂直得
．即
，解得
14．99
在等差数列
中，
也是等差数列，由等差中项定理得
．
所以
．
15．
由题意知，直线
是抛物线
的准线，而
到的距离等于到焦点
的距离．即求点到点
的距离与到点
的距离和的最小值，就是点与点的距离，为．
16．②
一方面．由条件，
，得
，故②正确．
另一方面，如图，在正方体
中，把
、
分别记作、
，平面
、平面
、平面
分别记作
、
、
，就可以否定①与③．
三、解答题
17．解：
，且
，即
又
．
由余弦定理，
，故
．
18．解：（1）只有甲解出的概率：
．
（2）只有1人解出的概率：
．
19．解：（1）由已知
，∴数列
的公比
，首项
又数列
中，
∴数列的公差
，首项
∴数列、
的通项公式依次为
．
（2）
，
．
20．（1）证明；在直三棱柱
中，
面
又
面
，而
面
，
∴平面
平面
（2）解：取
中点
，连接
交
于点，则
．
与平面所成角大小等于与平面所成角的大小．
取
中点
，连接
、
，则等腰三角形
中，
．
又由（1）得
面
．
面
为直线与面所成的角
又
，
∴直线与平面所成角的正切值为
．
（注：本题也可以能过建立空间直角坐标系解答）
21．解：（1）设椭圆方程为
，双曲线方程为
，半焦距
由已知得
，解得
，则
故椭圆及双曲线方程分别为
及
．
（2）向量
与
的夹解即是
，设
，则
由余弦定理得
①
由椭圆定义得
②
由双曲线定义得
③
式②+式③得
，式②
式③得
将它们代入式①得
，解得
，所以向量与夹角的余弦值为
．
22．解（1）由
得
在
处有极值
①
又
在
处的切线的倾斜角为
②
由式①、式②解得
设的方程为
∵原点
到直线的距离为
，
解得
．
又不过第四象限，
．
所以切线的方程为
．
切点坐标为（2，3），则
，
解得
．
（2）
在
上递增，在
上递减
而
在区间
上的最大值是3，最小值是
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