设函数f（x）=x²+2lnx，用f'（x）表示f（x）的导函数，g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)，（其中m∈R，且m＞0．）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、x2∈[

1

3

，1]都有f'（x₁）≤g'（x₂）成立，求实数m的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f'（a）]ⁿ-2^n-1f'（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）恒成立．

设函数f(x)=x²+2lnx，f′(x)表示f(x)的导函数，（其中m∈R，且m＞0），
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的x₁，x₂∈，都有f′(x₁)≤g′(x₂)成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)试证明：对任意正数a和正整数n，不等式恒成立。